Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 386 / 458
↖ ↑ ↗
← N 18.646245°
W 44.296875°		 ← 37.040 km → N 18.646245°
W 43.945312°		 →
↑
37.076 km
↓
↑
37.076 km
↓
N 18.312811°
W 44.296875°		 ← 37.112 km →
1 374.65 km²		 N 18.312811°
W 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37744140625 y=0.44775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37744140625 × 210)
    floor (0.37744140625 × 1024)
    floor (386.5)     		tx = 386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44775390625 × 210)
    floor (0.44775390625 × 1024)
    floor (458.5)     		ty = 458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 386 / 458 ti = "10/386/458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/386/458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 386 ÷ 210
    386 ÷ 1024     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 458 ÷ 210
    458 ÷ 1024     		y = 0.447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447265625 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.331339850173828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331339850173828))-π/2
    2×atan(1.39283306644223)-π/2
    2×0.948117348829763-π/2
    1.89623469765953-1.57079632675     		φ = 0.32543837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32543837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.646245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 386 KachelY 458 -0.77312632 0.32543837 -44.296875 18.646245
    Oben rechts KachelX + 1 387 KachelY 458 -0.76699039 0.32543837 -43.945312 18.646245
    Unten links KachelX 386 KachelY + 1 459 -0.77312632 0.31961884 -44.296875 18.312811
    Unten rechts KachelX + 1 387 KachelY + 1 459 -0.76699039 0.31961884 -43.945312 18.312811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32543837-0.31961884) × R
    0.00581952999999996 × 6371000     		dl = 37076.2256299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32543837-0.31961884) × R
    0.00581952999999996 × 6371000     		dr = 37076.2256299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.76699039) × cos(0.32543837) × R
    0.00613593000000001 × 0.94751065997265 × 6371000     		do = 37040.0962231828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.76699039) × cos(0.31961884) × R
    0.00613593000000001 × 0.949355249315924 × 6371000     		du = 37112.2049282913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32543837)-sin(0.31961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94751065997265-0.949355249315924)×R²
    abs(-0.76699039--0.77312632)×0.00184458934327403×R²
    0.00613593000000001×0.00184458934327403×6371000²
    0.00613593000000001×0.00184458934327403×40589641000000     		ar = 1374647603.83117m²