Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 386 / 401
↖ ↑ ↗
← S 70.844672°
E 91.406250°		 ← 25.655 km → S 70.844672°
E 92.109375°		 →
↑
25.506 km
↓
↑
25.506 km
↓
S 71.074057°
E 91.406250°		 ← 25.359 km →
650.581 km²		 S 71.074057°
E 92.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7548828125 y=0.7841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7548828125 × 29)
    floor (0.7548828125 × 512)
    floor (386.5)     		tx = 386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7841796875 × 29)
    floor (0.7841796875 × 512)
    floor (401.5)     		ty = 401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 386 / 401 ti = "9/386/401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/386/401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 386 ÷ 29
    386 ÷ 512     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 401 ÷ 29
    401 ÷ 512     		y = 0.783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77941771389648))-π/2
    2×atan(0.168736371512804)-π/2
    2×0.167161765923175-π/2
    0.33432353184635-1.57079632675     		φ = -1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 386 KachelY 401 1.59534002 -1.23647279 91.406250 -70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 387 KachelY 401 1.60761187 -1.23647279 92.109375 -70.844672
    Unten links KachelX 386 KachelY + 1 402 1.59534002 -1.24047630 91.406250 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 387 KachelY + 1 402 1.60761187 -1.24047630 92.109375 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23647279--1.24047630) × R
    0.00400350999999999 × 6371000     		dl = 25506.3622099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23647279--1.24047630) × R
    0.00400350999999999 × 6371000     		dr = 25506.3622099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.60761187) × cos(-1.23647279) × R
    0.0122718499999999 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 25654.5200387543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.60761187) × cos(-1.24047630) × R
    0.0122718499999999 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 25358.6355783212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23647279)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.324345770694955)×R²
    abs(1.60761187-1.59534002)×0.00378446517989656×R²
    0.0122718499999999×0.00378446517989656×6371000²
    0.0122718499999999×0.00378446517989656×40589641000000     		ar = 650580881.28653m²