Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38599 / 29482
↖ ↑ ↗
← N 17.759150°
E 32.030639°		 ← 581.74 m → N 17.759150°
E 32.036133°		 →
↑
581.74 m
↓
↑
581.74 m
↓
N 17.753918°
E 32.030639°		 ← 581.76 m →
338 426 m²		 N 17.753918°
E 32.036133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588981628417969 y=0.449867248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588981628417969 × 216)
    floor (0.588981628417969 × 65536)
    floor (38599.5)     		tx = 38599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449867248535156 × 216)
    floor (0.449867248535156 × 65536)
    floor (29482.5)     		ty = 29482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38599 / 29482 ti = "16/38599/29482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38599/29482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38599 ÷ 216
    38599 ÷ 65536     		x = 0.588973999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29482 ÷ 216
    29482 ÷ 65536     		y = 0.449859619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588973999023438 × 2 - 1) × π
    0.177947998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.55904012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449859619140625 × 2 - 1) × π
    0.10028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.315041304303009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55904012} λ = 0.55904012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315041304303009))-π/2
    2×atan(1.37031590973166)-π/2
    2×0.9403759811864-π/2
    1.8807519623728-1.57079632675     		φ = 0.30995564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55904012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.030639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30995564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.759150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38599 KachelY 29482 0.55904012 0.30995564 32.030639 17.759150
    Oben rechts KachelX + 1 38600 KachelY 29482 0.55913600 0.30995564 32.036133 17.759150
    Unten links KachelX 38599 KachelY + 1 29483 0.55904012 0.30986433 32.030639 17.753918
    Unten rechts KachelX + 1 38600 KachelY + 1 29483 0.55913600 0.30986433 32.036133 17.753918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30995564-0.30986433) × R
    9.13099999999556e-05 × 6371000     		dl = 581.736009999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30995564-0.30986433) × R
    9.13099999999556e-05 × 6371000     		dr = 581.736009999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55904012-0.55913600) × cos(0.30995564) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.952347101349816 × 6371000     		do = 581.742636332864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55904012-0.55913600) × cos(0.30986433) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.952374948426301 × 6371000     		du = 581.759646760748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30995564)-sin(0.30986433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952347101349816-0.952374948426301)×R²
    abs(0.55913600-0.55904012)×2.78470764847327e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.78470764847327e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.78470764847327e-05×40589641000000     		ar = 338425.588131307m²