Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38594 / 29463
↖ ↑ ↗
← N 17.858519°
E 32.003174°		 ← 581.42 m → N 17.858519°
E 32.008667°		 →
↑
581.42 m
↓
↑
581.42 m
↓
N 17.853290°
E 32.003174°		 ← 581.44 m →
338 052 m²		 N 17.853290°
E 32.008667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588905334472656 y=0.449577331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588905334472656 × 216)
    floor (0.588905334472656 × 65536)
    floor (38594.5)     		tx = 38594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449577331542969 × 216)
    floor (0.449577331542969 × 65536)
    floor (29463.5)     		ty = 29463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38594 / 29463 ti = "16/38594/29463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38594/29463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38594 ÷ 216
    38594 ÷ 65536     		x = 0.588897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29463 ÷ 216
    29463 ÷ 65536     		y = 0.449569702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588897705078125 × 2 - 1) × π
    0.17779541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55856075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449569702148438 × 2 - 1) × π
    0.100860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.316862906488571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55856075} λ = 0.55856075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316862906488571))-π/2
    2×atan(1.37281435508362)-π/2
    2×0.941243138606682-π/2
    1.88248627721336-1.57079632675     		φ = 0.31168995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55856075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.003174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31168995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.858519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38594 KachelY 29463 0.55856075 0.31168995 32.003174 17.858519
    Oben rechts KachelX + 1 38595 KachelY 29463 0.55865663 0.31168995 32.008667 17.858519
    Unten links KachelX 38594 KachelY + 1 29464 0.55856075 0.31159869 32.003174 17.853290
    Unten rechts KachelX + 1 38595 KachelY + 1 29464 0.55865663 0.31159869 32.008667 17.853290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31168995-0.31159869) × R
    9.12599999999819e-05 × 6371000     		dl = 581.417459999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31168995-0.31159869) × R
    9.12599999999819e-05 × 6371000     		dr = 581.417459999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55856075-0.55865663) × cos(0.31168995) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.951816676389284 × 6371000     		do = 581.418625460694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55856075-0.55865663) × cos(0.31159869) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.951844658910524 × 6371000     		du = 581.435718625207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31168995)-sin(0.31159869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951816676389284-0.951844658910524)×R²
    abs(0.55865663-0.55856075)×2.7982521239478e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.7982521239478e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.7982521239478e-05×40589641000000     		ar = 338051.90977868m²