Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3859 / 4800
↖ ↑ ↗
← S 29.535229°
W 10.415039°		 ← 4 251.51 m → S 29.535229°
W 10.371094°		 →
↑
4 250.73 m
↓
↑
4 250.73 m
↓
S 29.573457°
W 10.415039°		 ← 4 249.90 m →
18 068 596 m²		 S 29.573457°
W 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47113037109375 y=0.58599853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47113037109375 × 213)
    floor (0.47113037109375 × 8192)
    floor (3859.5)     		tx = 3859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58599853515625 × 213)
    floor (0.58599853515625 × 8192)
    floor (4800.5)     		ty = 4800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3859 / 4800 ti = "13/3859/4800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3859/4800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3859 ÷ 213
    3859 ÷ 8192     		x = 0.4710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4800 ÷ 213
    4800 ÷ 8192     		y = 0.5859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18177672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5859375 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18177672} λ = -0.18177672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539961237320313))-π/2
    2×atan(0.582770841695643)-π/2
    2×0.527654662801254-π/2
    1.05530932560251-1.57079632675     		φ = -0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18177672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3859 KachelY 4800 -0.18177672 -0.51548700 -10.415039 -29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 3860 KachelY 4800 -0.18100973 -0.51548700 -10.371094 -29.535229
    Unten links KachelX 3859 KachelY + 1 4801 -0.18177672 -0.51615420 -10.415039 -29.573457
    Unten rechts KachelX + 1 3860 KachelY + 1 4801 -0.18100973 -0.51615420 -10.371094 -29.573457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51548700--0.51615420) × R
    0.000667199999999979 × 6371000     		dl = 4250.73119999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51548700--0.51615420) × R
    0.000667199999999979 × 6371000     		dr = 4250.73119999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18177672--0.18100973) × cos(-0.51548700) × R
    0.000766989999999995 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 4251.50694745937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18177672--0.18100973) × cos(-0.51615420) × R
    0.000766989999999995 × 0.86972365900934 × 6371000     		du = 4249.89882390336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51548700)-sin(-0.51615420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.86972365900934)×R²
    abs(-0.18100973--0.18177672)×0.000329095623500808×R²
    0.000766989999999995×0.000329095623500808×6371000²
    0.000766989999999995×0.000329095623500808×40589641000000     		ar = 18068596.0483738m²