Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38577 / 29545
↖ ↑ ↗
← N 17.429270°
E 31.909790°		 ← 582.74 m → N 17.429270°
E 31.915283°		 →
↑
582.76 m
↓
↑
582.76 m
↓
N 17.424029°
E 31.909790°		 ← 582.76 m →
339 603 m²		 N 17.424029°
E 31.915283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588645935058594 y=0.450828552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588645935058594 × 216)
    floor (0.588645935058594 × 65536)
    floor (38577.5)     		tx = 38577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450828552246094 × 216)
    floor (0.450828552246094 × 65536)
    floor (29545.5)     		ty = 29545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38577 / 29545 ti = "16/38577/29545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38577/29545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38577 ÷ 216
    38577 ÷ 65536     		x = 0.588638305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29545 ÷ 216
    29545 ÷ 65536     		y = 0.450820922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588638305664062 × 2 - 1) × π
    0.177276611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55693090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450820922851562 × 2 - 1) × π
    0.098358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.309001254950882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55693090} λ = 0.55693090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309001254950882))-π/2
    2×atan(1.36206407982587)-π/2
    2×0.93749723435511-π/2
    1.87499446871022-1.57079632675     		φ = 0.30419814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55693090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.909790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30419814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.429270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38577 KachelY 29545 0.55693090 0.30419814 31.909790 17.429270
    Oben rechts KachelX + 1 38578 KachelY 29545 0.55702677 0.30419814 31.915283 17.429270
    Unten links KachelX 38577 KachelY + 1 29546 0.55693090 0.30410667 31.909790 17.424029
    Unten rechts KachelX + 1 38578 KachelY + 1 29546 0.55702677 0.30410667 31.915283 17.424029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30419814-0.30410667) × R
    9.14699999999824e-05 × 6371000     		dl = 582.755369999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30419814-0.30410667) × R
    9.14699999999824e-05 × 6371000     		dr = 582.755369999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55693090-0.55702677) × cos(0.30419814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954087438975414 × 6371000     		do = 582.744939236791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55693090-0.55702677) × cos(0.30410667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954114832830991 × 6371000     		du = 582.761671068751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30419814)-sin(0.30410667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954087438975414-0.954114832830991)×R²
    abs(0.55702677-0.55693090)×2.73938555777065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73938555777065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73938555777065e-05×40589641000000     		ar = 339602.618199727m²