Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3857 / 2147
↖ ↑ ↗
← N 64.717880°
W 10.502929°		 ← 2 086.90 m → N 64.717880°
W 10.458984°		 →
↑
2 087.65 m
↓
↑
2 087.65 m
↓
N 64.699105°
W 10.502929°		 ← 2 088.35 m →
4 358 232 m²		 N 64.699105°
W 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47088623046875 y=0.26214599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47088623046875 × 213)
    floor (0.47088623046875 × 8192)
    floor (3857.5)     		tx = 3857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26214599609375 × 213)
    floor (0.26214599609375 × 8192)
    floor (2147.5)     		ty = 2147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3857 / 2147 ti = "13/3857/2147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3857/2147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3857 ÷ 213
    3857 ÷ 8192     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2147 ÷ 213
    2147 ÷ 8192     		y = 0.2620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2620849609375 × 2 - 1) × π
    0.475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49486427775183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49486427775183))-π/2
    2×atan(4.45873136273534)-π/2
    2×1.35016820820519-π/2
    2.70033641641038-1.57079632675     		φ = 1.12954009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12954009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.717880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3857 KachelY 2147 -0.18331070 1.12954009 -10.502929 64.717880
    Oben rechts KachelX + 1 3858 KachelY 2147 -0.18254371 1.12954009 -10.458984 64.717880
    Unten links KachelX 3857 KachelY + 1 2148 -0.18331070 1.12921241 -10.502929 64.699105
    Unten rechts KachelX + 1 3858 KachelY + 1 2148 -0.18254371 1.12921241 -10.458984 64.699105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12954009-1.12921241) × R
    0.000327680000000052 × 6371000     		dl = 2087.64928000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12954009-1.12921241) × R
    0.000327680000000052 × 6371000     		dr = 2087.64928000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18254371) × cos(1.12954009) × R
    0.000766989999999995 × 0.427075711002566 × 6371000     		do = 2086.90259613601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18254371) × cos(1.12921241) × R
    0.000766989999999995 × 0.427371981524642 × 6371000     		du = 2088.35032005415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12954009)-sin(1.12921241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427075711002566-0.427371981524642)×R²
    abs(-0.18254371--0.18331070)×0.000296270522075981×R²
    0.000766989999999995×0.000296270522075981×6371000²
    0.000766989999999995×0.000296270522075981×40589641000000     		ar = 4358231.91114654m²