Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38564 / 28707
↖ ↑ ↗
← N 21.764601°
E 31.838379°		 ← 567.25 m → N 21.764601°
E 31.843872°		 →
↑
567.27 m
↓
↑
567.27 m
↓
N 21.759500°
E 31.838379°		 ← 567.27 m →
321 791 m²		 N 21.759500°
E 31.843872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588447570800781 y=0.438041687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588447570800781 × 216)
    floor (0.588447570800781 × 65536)
    floor (38564.5)     		tx = 38564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438041687011719 × 216)
    floor (0.438041687011719 × 65536)
    floor (28707.5)     		ty = 28707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38564 / 28707 ti = "16/38564/28707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38564/28707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38564 ÷ 216
    38564 ÷ 65536     		x = 0.58843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28707 ÷ 216
    28707 ÷ 65536     		y = 0.438034057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58843994140625 × 2 - 1) × π
    0.1768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55568454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438034057617188 × 2 - 1) × π
    0.123931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.389343498714096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55568454} λ = 0.55568454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389343498714096))-π/2
    2×atan(1.47601147230745)-π/2
    2×0.97533014084949-π/2
    1.95066028169898-1.57079632675     		φ = 0.37986395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55568454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.838379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37986395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.764601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38564 KachelY 28707 0.55568454 0.37986395 31.838379 21.764601
    Oben rechts KachelX + 1 38565 KachelY 28707 0.55578041 0.37986395 31.843872 21.764601
    Unten links KachelX 38564 KachelY + 1 28708 0.55568454 0.37977491 31.838379 21.759500
    Unten rechts KachelX + 1 38565 KachelY + 1 28708 0.55578041 0.37977491 31.843872 21.759500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37986395-0.37977491) × R
    8.90399999999847e-05 × 6371000     		dl = 567.273839999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37986395-0.37977491) × R
    8.90399999999847e-05 × 6371000     		dr = 567.273839999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55568454-0.55578041) × cos(0.37986395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928715090711612 × 6371000     		do = 567.247819221081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55568454-0.55578041) × cos(0.37977491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		du = 567.26798244129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37986395)-sin(0.37977491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928715090711612-0.928748102538633)×R²
    abs(0.55578041-0.55568454)×3.301182702109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.301182702109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.301182702109e-05×40589641000000     		ar = 321790.567887323m²