Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38562 / 28834
↖ ↑ ↗
← N 21.115249°
E 31.827392°		 ← 569.84 m → N 21.115249°
E 31.832886°		 →
↑
569.82 m
↓
↑
569.82 m
↓
N 21.110125°
E 31.827392°		 ← 569.86 m →
324 712 m²		 N 21.110125°
E 31.832886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588417053222656 y=0.439979553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588417053222656 × 216)
    floor (0.588417053222656 × 65536)
    floor (38562.5)     		tx = 38562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439979553222656 × 216)
    floor (0.439979553222656 × 65536)
    floor (28834.5)     		ty = 28834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38562 / 28834 ti = "16/38562/28834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38562/28834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38562 ÷ 216
    38562 ÷ 65536     		x = 0.588409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28834 ÷ 216
    28834 ÷ 65536     		y = 0.439971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588409423828125 × 2 - 1) × π
    0.17681884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55549279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439971923828125 × 2 - 1) × π
    0.12005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.377167526210602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55549279} λ = 0.55549279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377167526210602))-π/2
    2×atan(1.4581485670148)-π/2
    2×0.969663474811584-π/2
    1.93932694962317-1.57079632675     		φ = 0.36853062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55549279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.827392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36853062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.115249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38562 KachelY 28834 0.55549279 0.36853062 31.827392 21.115249
    Oben rechts KachelX + 1 38563 KachelY 28834 0.55558867 0.36853062 31.832886 21.115249
    Unten links KachelX 38562 KachelY + 1 28835 0.55549279 0.36844118 31.827392 21.110125
    Unten rechts KachelX + 1 38563 KachelY + 1 28835 0.55558867 0.36844118 31.832886 21.110125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36853062-0.36844118) × R
    8.94399999999962e-05 × 6371000     		dl = 569.822239999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36853062-0.36844118) × R
    8.94399999999962e-05 × 6371000     		dr = 569.822239999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55549279-0.55558867) × cos(0.36853062) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.932857689414895 × 6371000     		do = 569.837500208755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55549279-0.55558867) × cos(0.36844118) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.932889906005296 × 6371000     		du = 569.857179760682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36853062)-sin(0.36844118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932857689414895-0.932889906005296)×R²
    abs(0.55558867-0.55549279)×3.22165904009797e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.22165904009797e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.22165904009797e-05×40589641000000     		ar = 324711.687944653m²