Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3856 / 1582
↖ ↑ ↗
← N 73.453473°
W 10.546875°		 ← 1 391.64 m → N 73.453473°
W 10.502929°		 →
↑
1 392.19 m
↓
↑
1 392.19 m
↓
N 73.440953°
W 10.546875°		 ← 1 392.67 m →
1 938 146 m²		 N 73.440953°
W 10.502929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47076416015625 y=0.19317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47076416015625 × 213)
    floor (0.47076416015625 × 8192)
    floor (3856.5)     		tx = 3856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19317626953125 × 213)
    floor (0.19317626953125 × 8192)
    floor (1582.5)     		ty = 1582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3856 / 1582 ti = "13/3856/1582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3856/1582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3856 ÷ 213
    3856 ÷ 8192     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1582 ÷ 213
    1582 ÷ 8192     		y = 0.193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193115234375 × 2 - 1) × π
    0.61376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92821385031714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92821385031714))-π/2
    2×atan(6.87721552841592)-π/2
    2×1.42640063676116-π/2
    2.85280127352233-1.57079632675     		φ = 1.28200495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28200495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.453473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3856 KachelY 1582 -0.18407769 1.28200495 -10.546875 73.453473
    Oben rechts KachelX + 1 3857 KachelY 1582 -0.18331070 1.28200495 -10.502929 73.453473
    Unten links KachelX 3856 KachelY + 1 1583 -0.18407769 1.28178643 -10.546875 73.440953
    Unten rechts KachelX + 1 3857 KachelY + 1 1583 -0.18331070 1.28178643 -10.502929 73.440953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28200495-1.28178643) × R
    0.00021852 × 6371000     		dl = 1392.19092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28200495-1.28178643) × R
    0.00021852 × 6371000     		dr = 1392.19092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18331070) × cos(1.28200495) × R
    0.000766989999999995 × 0.284793860747511 × 6371000     		do = 1391.6432895759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18331070) × cos(1.28178643) × R
    0.000766989999999995 × 0.285003324767338 × 6371000     		du = 1392.66683410328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28200495)-sin(1.28178643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284793860747511-0.285003324767338)×R²
    abs(-0.18331070--0.18407769)×0.000209464019826189×R²
    0.000766989999999995×0.000209464019826189×6371000²
    0.000766989999999995×0.000209464019826189×40589641000000     		ar = 1938145.64404026m²