Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38558 / 28710
↖ ↑ ↗
← N 21.749296°
E 31.805420°		 ← 567.31 m → N 21.749296°
E 31.810913°		 →
↑
567.34 m
↓
↑
567.34 m
↓
N 21.744194°
E 31.805420°		 ← 567.33 m →
321 861 m²		 N 21.744194°
E 31.810913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588356018066406 y=0.438087463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588356018066406 × 216)
    floor (0.588356018066406 × 65536)
    floor (38558.5)     		tx = 38558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438087463378906 × 216)
    floor (0.438087463378906 × 65536)
    floor (28710.5)     		ty = 28710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38558 / 28710 ti = "16/38558/28710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38558/28710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38558 ÷ 216
    38558 ÷ 65536     		x = 0.588348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28710 ÷ 216
    28710 ÷ 65536     		y = 0.438079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588348388671875 × 2 - 1) × π
    0.17669677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55510930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438079833984375 × 2 - 1) × π
    0.12384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.389055877316376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55510930} λ = 0.55510930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389055877316376))-π/2
    2×atan(1.47558700087119)-π/2
    2×0.975196574562919-π/2
    1.95039314912584-1.57079632675     		φ = 0.37959682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55510930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.805420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37959682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.749296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38558 KachelY 28710 0.55510930 0.37959682 31.805420 21.749296
    Oben rechts KachelX + 1 38559 KachelY 28710 0.55520517 0.37959682 31.810913 21.749296
    Unten links KachelX 38558 KachelY + 1 28711 0.55510930 0.37950777 31.805420 21.744194
    Unten rechts KachelX + 1 38559 KachelY + 1 28711 0.55520517 0.37950777 31.810913 21.744194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37959682-0.37950777) × R
    8.90499999999794e-05 × 6371000     		dl = 567.337549999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37959682-0.37950777) × R
    8.90499999999794e-05 × 6371000     		dr = 567.337549999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55510930-0.55520517) × cos(0.37959682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92881410780819 × 6371000     		do = 567.308297652692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55510930-0.55520517) × cos(0.37950777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928847101248548 × 6371000     		du = 567.328449642553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37959682)-sin(0.37950777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92881410780819-0.928847101248548)×R²
    abs(0.55520517-0.55510930)×3.29934403585641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29934403585641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29934403585641e-05×40589641000000     		ar = 321861.016387987m²