Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38555 / 28708
↖ ↑ ↗
← N 21.759500°
E 31.788941°		 ← 567.27 m → N 21.759500°
E 31.794434°		 →
↑
567.27 m
↓
↑
567.27 m
↓
N 21.754398°
E 31.788941°		 ← 567.29 m →
321 802 m²		 N 21.754398°
E 31.794434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588310241699219 y=0.438056945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588310241699219 × 216)
    floor (0.588310241699219 × 65536)
    floor (38555.5)     		tx = 38555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438056945800781 × 216)
    floor (0.438056945800781 × 65536)
    floor (28708.5)     		ty = 28708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38555 / 28708 ti = "16/38555/28708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38555/28708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38555 ÷ 216
    38555 ÷ 65536     		x = 0.588302612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28708 ÷ 216
    28708 ÷ 65536     		y = 0.43804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588302612304688 × 2 - 1) × π
    0.176605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55482168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    0.1239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.389247624914856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55482168} λ = 0.55482168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389247624914856))-π/2
    2×atan(1.47586996826325)-π/2
    2×0.975285620336222-π/2
    1.95057124067244-1.57079632675     		φ = 0.37977491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55482168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.788941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37977491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.759500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38555 KachelY 28708 0.55482168 0.37977491 31.788941 21.759500
    Oben rechts KachelX + 1 38556 KachelY 28708 0.55491755 0.37977491 31.794434 21.759500
    Unten links KachelX 38555 KachelY + 1 28709 0.55482168 0.37968587 31.788941 21.754398
    Unten rechts KachelX + 1 38556 KachelY + 1 28709 0.55491755 0.37968587 31.794434 21.754398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37977491-0.37968587) × R
    8.90400000000402e-05 × 6371000     		dl = 567.273840000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37977491-0.37968587) × R
    8.90400000000402e-05 × 6371000     		dr = 567.273840000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55482168-0.55491755) × cos(0.37977491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		do = 567.26798244129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55482168-0.55491755) × cos(0.37968587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928781107002426 × 6371000     		du = 567.288141164131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37977491)-sin(0.37968587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928748102538633-0.928781107002426)×R²
    abs(0.55491755-0.55482168)×3.30044637931737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30044637931737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30044637931737e-05×40589641000000     		ar = 321802.004679344m²