Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3855 / 2127
↖ ↑ ↗
← N 65.090646°
W 10.590820°		 ← 2 058.11 m → N 65.090646°
W 10.546875°		 →
↑
2 058.85 m
↓
↑
2 058.85 m
↓
N 65.072130°
W 10.590820°		 ← 2 059.54 m →
4 238 824 m²		 N 65.072130°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47064208984375 y=0.25970458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47064208984375 × 213)
    floor (0.47064208984375 × 8192)
    floor (3855.5)     		tx = 3855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25970458984375 × 213)
    floor (0.25970458984375 × 8192)
    floor (2127.5)     		ty = 2127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3855 / 2127 ti = "13/3855/2127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3855/2127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3855 ÷ 213
    3855 ÷ 8192     		x = 0.4705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2127 ÷ 213
    2127 ÷ 8192     		y = 0.2596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2596435546875 × 2 - 1) × π
    0.480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51020408563025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18484468} λ = -0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51020408563025))-π/2
    2×atan(4.5276547292991)-π/2
    2×1.35342120222062-π/2
    2.70684240444124-1.57079632675     		φ = 1.13604608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13604608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.090646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3855 KachelY 2127 -0.18484468 1.13604608 -10.590820 65.090646
    Oben rechts KachelX + 1 3856 KachelY 2127 -0.18407769 1.13604608 -10.546875 65.090646
    Unten links KachelX 3855 KachelY + 1 2128 -0.18484468 1.13572292 -10.590820 65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 3856 KachelY + 1 2128 -0.18407769 1.13572292 -10.546875 65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13604608-1.13572292) × R
    0.000323159999999989 × 6371000     		dl = 2058.85235999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13604608-1.13572292) × R
    0.000323159999999989 × 6371000     		dr = 2058.85235999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18484468--0.18407769) × cos(1.13604608) × R
    0.000766990000000023 × 0.421183894526239 × 6371000     		do = 2058.1122744586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18484468--0.18407769) × cos(1.13572292) × R
    0.000766990000000023 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 2059.54438899224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13604608)-sin(1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421183894526239-0.421476970654384)×R²
    abs(-0.18407769--0.18484468)×0.00029307612814522×R²
    0.000766990000000023×0.00029307612814522×6371000²
    0.000766990000000023×0.00029307612814522×40589641000000     		ar = 4238823.60649604m²