Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3854 / 2556
↖ ↑ ↗
← N 55.875311°
W 10.634766°		 ← 2 741.34 m → N 55.875311°
W 10.590820°		 →
↑
2 742.14 m
↓
↑
2 742.14 m
↓
N 55.850650°
W 10.634766°		 ← 2 743.08 m →
7 519 525 m²		 N 55.850650°
W 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47052001953125 y=0.31207275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47052001953125 × 213)
    floor (0.47052001953125 × 8192)
    floor (3854.5)     		tx = 3854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31207275390625 × 213)
    floor (0.31207275390625 × 8192)
    floor (2556.5)     		ty = 2556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3854 / 2556 ti = "13/3854/2556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3854/2556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3854 ÷ 213
    3854 ÷ 8192     		x = 0.470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2556 ÷ 213
    2556 ÷ 8192     		y = 0.31201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31201171875 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18561168} λ = -0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18116520663818))-π/2
    2×atan(3.25816843141486)-π/2
    2×1.27300223571707-π/2
    2.54600447143413-1.57079632675     		φ = 0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3854 KachelY 2556 -0.18561168 0.97520814 -10.634766 55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 3855 KachelY 2556 -0.18484468 0.97520814 -10.590820 55.875311
    Unten links KachelX 3854 KachelY + 1 2557 -0.18561168 0.97477773 -10.634766 55.850650
    Unten rechts KachelX + 1 3855 KachelY + 1 2557 -0.18484468 0.97477773 -10.590820 55.850650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97520814-0.97477773) × R
    0.000430409999999992 × 6371000     		dl = 2742.14210999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97520814-0.97477773) × R
    0.000430409999999992 × 6371000     		dr = 2742.14210999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18561168--0.18484468) × cos(0.97520814) × R
    0.00076699999999999 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 2741.33777521875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18561168--0.18484468) × cos(0.97477773) × R
    0.00076699999999999 × 0.56135201298455 × 6371000     		du = 2743.07860851371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97520814)-sin(0.97477773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.56135201298455)×R²
    abs(-0.18484468--0.18561168)×0.000356249460501279×R²
    0.00076699999999999×0.000356249460501279×6371000²
    0.00076699999999999×0.000356249460501279×40589641000000     		ar = 7519524.67338871m²