Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38531 / 29419
↖ ↑ ↗
← N 18.088423°
E 31.657105°		 ← 580.60 m → N 18.088423°
E 31.662598°		 →
↑
580.59 m
↓
↑
580.59 m
↓
N 18.083201°
E 31.657105°		 ← 580.62 m →
337 096 m²		 N 18.083201°
E 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587944030761719 y=0.448905944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587944030761719 × 216)
    floor (0.587944030761719 × 65536)
    floor (38531.5)     		tx = 38531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448905944824219 × 216)
    floor (0.448905944824219 × 65536)
    floor (29419.5)     		ty = 29419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38531 / 29419 ti = "16/38531/29419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38531/29419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38531 ÷ 216
    38531 ÷ 65536     		x = 0.587936401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29419 ÷ 216
    29419 ÷ 65536     		y = 0.448898315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587936401367188 × 2 - 1) × π
    0.175872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55252071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448898315429688 × 2 - 1) × π
    0.102203369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.321081353655136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55252071} λ = 0.55252071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321081353655136))-π/2
    2×atan(1.37861773192327)-π/2
    2×0.94324942938822-π/2
    1.88649885877644-1.57079632675     		φ = 0.31570253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55252071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.657105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31570253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.088423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38531 KachelY 29419 0.55252071 0.31570253 31.657105 18.088423
    Oben rechts KachelX + 1 38532 KachelY 29419 0.55261658 0.31570253 31.662598 18.088423
    Unten links KachelX 38531 KachelY + 1 29420 0.55252071 0.31561140 31.657105 18.083201
    Unten rechts KachelX + 1 38532 KachelY + 1 29420 0.55261658 0.31561140 31.662598 18.083201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31570253-0.31561140) × R
    9.11299999999948e-05 × 6371000     		dl = 580.589229999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31570253-0.31561140) × R
    9.11299999999948e-05 × 6371000     		dr = 580.589229999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55252071-0.55261658) × cos(0.31570253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950578488934419 × 6371000     		do = 580.601715466211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55252071-0.55261658) × cos(0.31561140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950606779426773 × 6371000     		du = 580.618994952948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31570253)-sin(0.31561140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950578488934419-0.950606779426773)×R²
    abs(0.55261658-0.55252071)×2.82904923541993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82904923541993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82904923541993e-05×40589641000000     		ar = 337096.11929441m²