Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38530 / 29519
↖ ↑ ↗
← N 17.565483°
E 31.651611°		 ← 582.37 m → N 17.565483°
E 31.657105°		 →
↑
582.31 m
↓
↑
582.31 m
↓
N 17.560247°
E 31.651611°		 ← 582.39 m →
339 124 m²		 N 17.560247°
E 31.657105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587928771972656 y=0.450431823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587928771972656 × 216)
    floor (0.587928771972656 × 65536)
    floor (38530.5)     		tx = 38530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450431823730469 × 216)
    floor (0.450431823730469 × 65536)
    floor (29519.5)     		ty = 29519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38530 / 29519 ti = "16/38530/29519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38530/29519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38530 ÷ 216
    38530 ÷ 65536     		x = 0.587921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29519 ÷ 216
    29519 ÷ 65536     		y = 0.450424194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587921142578125 × 2 - 1) × π
    0.17584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55242483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450424194335938 × 2 - 1) × π
    0.099151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.311493973731125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55242483} λ = 0.55242483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311493973731125))-π/2
    2×atan(1.36546355774851)-π/2
    2×0.938685925255499-π/2
    1.877371850511-1.57079632675     		φ = 0.30657552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55242483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.651611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30657552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.565483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38530 KachelY 29519 0.55242483 0.30657552 31.651611 17.565483
    Oben rechts KachelX + 1 38531 KachelY 29519 0.55252071 0.30657552 31.657105 17.565483
    Unten links KachelX 38530 KachelY + 1 29520 0.55242483 0.30648412 31.651611 17.560247
    Unten rechts KachelX + 1 38531 KachelY + 1 29520 0.55252071 0.30648412 31.657105 17.560247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30657552-0.30648412) × R
    9.13999999999637e-05 × 6371000     		dl = 582.309399999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30657552-0.30648412) × R
    9.13999999999637e-05 × 6371000     		dr = 582.309399999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55242483-0.55252071) × cos(0.30657552) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953372651010672 × 6371000     		do = 582.369094861685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55242483-0.55252071) × cos(0.30648412) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.95340023114688 × 6371000     		du = 582.385942228706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30657552)-sin(0.30648412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953372651010672-0.95340023114688)×R²
    abs(0.55252071-0.55242483)×2.75801362077388e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.75801362077388e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.75801362077388e-05×40589641000000     		ar = 339123.903633653m²