Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38522 / 29414
↖ ↑ ↗
← N 18.114529°
E 31.607666°		 ← 580.52 m → N 18.114529°
E 31.613159°		 →
↑
580.59 m
↓
↑
580.59 m
↓
N 18.109308°
E 31.607666°		 ← 580.53 m →
337 046 m²		 N 18.109308°
E 31.613159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587806701660156 y=0.448829650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587806701660156 × 216)
    floor (0.587806701660156 × 65536)
    floor (38522.5)     		tx = 38522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448829650878906 × 216)
    floor (0.448829650878906 × 65536)
    floor (29414.5)     		ty = 29414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38522 / 29414 ti = "16/38522/29414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38522/29414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38522 ÷ 216
    38522 ÷ 65536     		x = 0.587799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29414 ÷ 216
    29414 ÷ 65536     		y = 0.448822021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587799072265625 × 2 - 1) × π
    0.17559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55165784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448822021484375 × 2 - 1) × π
    0.10235595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.321560722651337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55165784} λ = 0.55165784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321560722651337))-π/2
    2×atan(1.37927875694636)-π/2
    2×0.943477251353673-π/2
    1.88695450270735-1.57079632675     		φ = 0.31615818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55165784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.607666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31615818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.114529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38522 KachelY 29414 0.55165784 0.31615818 31.607666 18.114529
    Oben rechts KachelX + 1 38523 KachelY 29414 0.55175371 0.31615818 31.613159 18.114529
    Unten links KachelX 38522 KachelY + 1 29415 0.55165784 0.31606705 31.607666 18.109308
    Unten rechts KachelX + 1 38523 KachelY + 1 29415 0.55175371 0.31606705 31.613159 18.109308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31615818-0.31606705) × R
    9.11299999999948e-05 × 6371000     		dl = 580.589229999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31615818-0.31606705) × R
    9.11299999999948e-05 × 6371000     		dr = 580.589229999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55165784-0.55175371) × cos(0.31615818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950436918063641 × 6371000     		do = 580.515245709751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55165784-0.55175371) × cos(0.31606705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95046524802488 × 6371000     		du = 580.532549303601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31615818)-sin(0.31606705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950436918063641-0.95046524802488)×R²
    abs(0.55175371-0.55165784)×2.83299612395815e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83299612395815e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83299612395815e-05×40589641000000     		ar = 337045.922883328m²