Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38520 / 29410
↖ ↑ ↗
← N 18.135411°
E 31.596680°		 ← 580.51 m → N 18.135411°
E 31.602173°		 →
↑
580.46 m
↓
↑
580.46 m
↓
N 18.130191°
E 31.596680°		 ← 580.52 m →
336 967 m²		 N 18.130191°
E 31.602173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587776184082031 y=0.448768615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587776184082031 × 216)
    floor (0.587776184082031 × 65536)
    floor (38520.5)     		tx = 38520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448768615722656 × 216)
    floor (0.448768615722656 × 65536)
    floor (29410.5)     		ty = 29410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38520 / 29410 ti = "16/38520/29410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38520/29410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38520 ÷ 216
    38520 ÷ 65536     		x = 0.5877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29410 ÷ 216
    29410 ÷ 65536     		y = 0.448760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5877685546875 × 2 - 1) × π
    0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448760986328125 × 2 - 1) × π
    0.10247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.321944217848297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55146609} λ = 0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321944217848297))-π/2
    2×atan(1.37980780516216)-π/2
    2×0.943659484481896-π/2
    1.88731896896379-1.57079632675     		φ = 0.31652264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31652264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.135411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38520 KachelY 29410 0.55146609 0.31652264 31.596680 18.135411
    Oben rechts KachelX + 1 38521 KachelY 29410 0.55156197 0.31652264 31.602173 18.135411
    Unten links KachelX 38520 KachelY + 1 29411 0.55146609 0.31643153 31.596680 18.130191
    Unten rechts KachelX + 1 38521 KachelY + 1 29411 0.55156197 0.31643153 31.602173 18.130191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31652264-0.31643153) × R
    9.11100000000054e-05 × 6371000     		dl = 580.461810000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31652264-0.31643153) × R
    9.11100000000054e-05 × 6371000     		dr = 580.461810000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55146609-0.55156197) × cos(0.31652264) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.950323537966153 × 6371000     		do = 580.50653964508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55146609-0.55156197) × cos(0.31643153) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.950351893269525 × 6371000     		du = 580.523860524111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31652264)-sin(0.31643153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950323537966153-0.950351893269525)×R²
    abs(0.55156197-0.55146609)×2.83553033724182e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.83553033724182e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.83553033724182e-05×40589641000000     		ar = 336966.90400682m²