Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3852 / 5296
↖ ↑ ↗
← N 76.393312°
W137.680664°		 ← 287.38 m → N 76.393312°
W137.669678°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 76.390727°
W137.680664°		 ← 287.44 m →
82 619 m²		 N 76.390727°
W137.669678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117568969726562 y=0.161636352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117568969726562 × 215)
    floor (0.117568969726562 × 32768)
    floor (3852.5)     		tx = 3852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161636352539062 × 215)
    floor (0.161636352539062 × 32768)
    floor (5296.5)     		ty = 5296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3852 / 5296 ti = "15/3852/5296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3852/5296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3852 ÷ 215
    3852 ÷ 32768     		x = 0.1175537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5296 ÷ 215
    5296 ÷ 32768     		y = 0.16162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.764892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.40298090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16162109375 × 2 - 1) × π
    0.6767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12609737194873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40298090} λ = -2.40298090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12609737194873))-π/2
    2×atan(8.382090714232)-π/2
    2×1.45205557089622-π/2
    2.90411114179245-1.57079632675     		φ = 1.33331482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40298090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33331482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.393312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3852 KachelY 5296 -2.40298090 1.33331482 -137.680664 76.393312
    Oben rechts KachelX + 1 3853 KachelY 5296 -2.40278916 1.33331482 -137.669678 76.393312
    Unten links KachelX 3852 KachelY + 1 5297 -2.40298090 1.33326970 -137.680664 76.390727
    Unten rechts KachelX + 1 3853 KachelY + 1 5297 -2.40278916 1.33326970 -137.669678 76.390727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33331482-1.33326970) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33331482-1.33326970) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40298090--2.40278916) × cos(1.33331482) × R
    0.000191739999999996 × 0.235255567073022 × 6371000     		do = 287.382446385227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40298090--2.40278916) × cos(1.33326970) × R
    0.000191739999999996 × 0.235299420475142 × 6371000     		du = 287.436016628603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33331482)-sin(1.33326970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235255567073022-0.235299420475142)×R²
    abs(-2.40278916--2.40298090)×4.38534021197645e-05×R²
    0.000191739999999996×4.38534021197645e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.38534021197645e-05×40589641000000     		ar = 82618.5197471876m²