Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38518 / 29412
↖ ↑ ↗
← N 18.124970°
E 31.585694°		 ← 580.48 m → N 18.124970°
E 31.591187°		 →
↑
580.46 m
↓
↑
580.46 m
↓
N 18.119750°
E 31.585694°		 ← 580.50 m →
336 952 m²		 N 18.119750°
E 31.591187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587745666503906 y=0.448799133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587745666503906 × 216)
    floor (0.587745666503906 × 65536)
    floor (38518.5)     		tx = 38518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448799133300781 × 216)
    floor (0.448799133300781 × 65536)
    floor (29412.5)     		ty = 29412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38518 / 29412 ti = "16/38518/29412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38518/29412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38518 ÷ 216
    38518 ÷ 65536     		x = 0.587738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29412 ÷ 216
    29412 ÷ 65536     		y = 0.44879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587738037109375 × 2 - 1) × π
    0.17547607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.55127435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44879150390625 × 2 - 1) × π
    0.1024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.321752470249817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55127435} λ = 0.55127435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321752470249817))-π/2
    2×atan(1.37954325569333)-π/2
    2×0.943568370635376-π/2
    1.88713674127075-1.57079632675     		φ = 0.31634041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55127435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.585694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31634041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.124970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38518 KachelY 29412 0.55127435 0.31634041 31.585694 18.124970
    Oben rechts KachelX + 1 38519 KachelY 29412 0.55137022 0.31634041 31.591187 18.124970
    Unten links KachelX 38518 KachelY + 1 29413 0.55127435 0.31624930 31.585694 18.119750
    Unten rechts KachelX + 1 38519 KachelY + 1 29413 0.55137022 0.31624930 31.591187 18.119750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31634041-0.31624930) × R
    9.11100000000054e-05 × 6371000     		dl = 580.461810000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31634041-0.31624930) × R
    9.11100000000054e-05 × 6371000     		dr = 580.461810000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55127435-0.55137022) × cos(0.31634041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950380243794902 × 6371000     		do = 580.480629759532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55127435-0.55137022) × cos(0.31624930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95040858331937 × 6371000     		du = 580.497939194485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31634041)-sin(0.31624930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950380243794902-0.95040858331937)×R²
    abs(0.55137022-0.55127435)×2.83395244680129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83395244680129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83395244680129e-05×40589641000000     		ar = 336951.860986184m²