Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38517 / 29413
↖ ↑ ↗
← N 18.119750°
E 31.580200°		 ← 580.56 m → N 18.119750°
E 31.585694°		 →
↑
580.53 m
↓
↑
580.53 m
↓
N 18.114529°
E 31.580200°		 ← 580.58 m →
337 034 m²		 N 18.114529°
E 31.585694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587730407714844 y=0.448814392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587730407714844 × 216)
    floor (0.587730407714844 × 65536)
    floor (38517.5)     		tx = 38517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448814392089844 × 216)
    floor (0.448814392089844 × 65536)
    floor (29413.5)     		ty = 29413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38517 / 29413 ti = "16/38517/29413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38517/29413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38517 ÷ 216
    38517 ÷ 65536     		x = 0.587722778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29413 ÷ 216
    29413 ÷ 65536     		y = 0.448806762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587722778320312 × 2 - 1) × π
    0.175445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55117847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448806762695312 × 2 - 1) × π
    0.102386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.321656596450577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55117847} λ = 0.55117847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321656596450577))-π/2
    2×atan(1.37941099998022)-π/2
    2×0.943522811673754-π/2
    1.88704562334751-1.57079632675     		φ = 0.31624930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55117847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.580200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31624930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.119750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38517 KachelY 29413 0.55117847 0.31624930 31.580200 18.119750
    Oben rechts KachelX + 1 38518 KachelY 29413 0.55127435 0.31624930 31.585694 18.119750
    Unten links KachelX 38517 KachelY + 1 29414 0.55117847 0.31615818 31.580200 18.114529
    Unten rechts KachelX + 1 38518 KachelY + 1 29414 0.55127435 0.31615818 31.585694 18.114529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31624930-0.31615818) × R
    9.11200000000001e-05 × 6371000     		dl = 580.525520000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31624930-0.31615818) × R
    9.11200000000001e-05 × 6371000     		dr = 580.525520000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55117847-0.55127435) × cos(0.31624930) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.95040858331937 × 6371000     		do = 580.558489725632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55117847-0.55127435) × cos(0.31615818) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.950436918063641 × 6371000     		du = 580.575798046105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31624930)-sin(0.31615818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95040858331937-0.950436918063641)×R²
    abs(0.55127435-0.55117847)×2.83347442704418e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.83347442704418e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.83347442704418e-05×40589641000000     		ar = 337034.043332451m²