Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38512 / 28780
↖ ↑ ↗
← N 21.391705°
E 31.552734°		 ← 568.77 m → N 21.391705°
E 31.558228°		 →
↑
568.74 m
↓
↑
568.74 m
↓
N 21.386590°
E 31.552734°		 ← 568.79 m →
323 487 m²		 N 21.386590°
E 31.558228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587654113769531 y=0.439155578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587654113769531 × 216)
    floor (0.587654113769531 × 65536)
    floor (38512.5)     		tx = 38512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439155578613281 × 216)
    floor (0.439155578613281 × 65536)
    floor (28780.5)     		ty = 28780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38512 / 28780 ti = "16/38512/28780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38512/28780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38512 ÷ 216
    38512 ÷ 65536     		x = 0.587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28780 ÷ 216
    28780 ÷ 65536     		y = 0.43914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587646484375 × 2 - 1) × π
    0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    0.1217041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.382344711369568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55069910} λ = 0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382344711369568))-π/2
    2×atan(1.46571724746013)-π/2
    2×0.972076003477879-π/2
    1.94415200695576-1.57079632675     		φ = 0.37335568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37335568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.391705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38512 KachelY 28780 0.55069910 0.37335568 31.552734 21.391705
    Oben rechts KachelX + 1 38513 KachelY 28780 0.55079498 0.37335568 31.558228 21.391705
    Unten links KachelX 38512 KachelY + 1 28781 0.55069910 0.37326641 31.552734 21.386590
    Unten rechts KachelX + 1 38513 KachelY + 1 28781 0.55079498 0.37326641 31.558228 21.386590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37335568-0.37326641) × R
    8.92700000000302e-05 × 6371000     		dl = 568.739170000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37335568-0.37326641) × R
    8.92700000000302e-05 × 6371000     		dr = 568.739170000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55069910-0.55079498) × cos(0.37335568) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.93110863293843 × 6371000     		do = 568.769086471502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55069910-0.55079498) × cos(0.37326641) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.931141189745084 × 6371000     		du = 568.788973845031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37335568)-sin(0.37326641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93110863293843-0.931141189745084)×R²
    abs(0.55079498-0.55069910)×3.25568066542603e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.25568066542603e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.25568066542603e-05×40589641000000     		ar = 323486.913740459m²