Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3851 / 2553
↖ ↑ ↗
← N 55.949200°
W 10.766602°		 ← 2 736.08 m → N 55.949200°
W 10.722656°		 →
↑
2 736.92 m
↓
↑
2 736.92 m
↓
N 55.924586°
W 10.766602°		 ← 2 737.82 m →
7 490 815 m²		 N 55.924586°
W 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47015380859375 y=0.31170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47015380859375 × 213)
    floor (0.47015380859375 × 8192)
    floor (3851.5)     		tx = 3851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31170654296875 × 213)
    floor (0.31170654296875 × 8192)
    floor (2553.5)     		ty = 2553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3851 / 2553 ti = "13/3851/2553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3851/2553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3851 ÷ 213
    3851 ÷ 8192     		x = 0.4700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2553 ÷ 213
    2553 ÷ 8192     		y = 0.3116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18791265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3116455078125 × 2 - 1) × π
    0.376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18346617781995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18791265} λ = -0.18791265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18346617781995))-π/2
    2×atan(3.26567401483494)-π/2
    2×1.27364703877497-π/2
    2.54729407754995-1.57079632675     		φ = 0.97649775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18791265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97649775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.949200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3851 KachelY 2553 -0.18791265 0.97649775 -10.766602 55.949200
    Oben rechts KachelX + 1 3852 KachelY 2553 -0.18714566 0.97649775 -10.722656 55.949200
    Unten links KachelX 3851 KachelY + 1 2554 -0.18791265 0.97606816 -10.766602 55.924586
    Unten rechts KachelX + 1 3852 KachelY + 1 2554 -0.18714566 0.97606816 -10.722656 55.924586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97649775-0.97606816) × R
    0.000429590000000091 × 6371000     		dl = 2736.91789000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97649775-0.97606816) × R
    0.000429590000000091 × 6371000     		dr = 2736.91789000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18791265--0.18714566) × cos(0.97649775) × R
    0.000766989999999995 × 0.559927734088408 × 6371000     		do = 2736.08311550789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18791265--0.18714566) × cos(0.97606816) × R
    0.000766989999999995 × 0.560283615531857 × 6371000     		du = 2737.82212779334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97649775)-sin(0.97606816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559927734088408-0.560283615531857)×R²
    abs(-0.18714566--0.18791265)×0.000355881443449002×R²
    0.000766989999999995×0.000355881443449002×6371000²
    0.000766989999999995×0.000355881443449002×40589641000000     		ar = 7490814.70947974m²