Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38500 / 29453
↖ ↑ ↗
← N 17.910796°
E 31.486817°		 ← 581.19 m → N 17.910796°
E 31.492310°		 →
↑
581.23 m
↓
↑
581.23 m
↓
N 17.905569°
E 31.486817°		 ← 581.20 m →
337 806 m²		 N 17.905569°
E 31.492310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587471008300781 y=0.449424743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587471008300781 × 216)
    floor (0.587471008300781 × 65536)
    floor (38500.5)     		tx = 38500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449424743652344 × 216)
    floor (0.449424743652344 × 65536)
    floor (29453.5)     		ty = 29453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38500 / 29453 ti = "16/38500/29453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38500/29453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38500 ÷ 216
    38500 ÷ 65536     		x = 0.58746337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29453 ÷ 216
    29453 ÷ 65536     		y = 0.449417114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58746337890625 × 2 - 1) × π
    0.1749267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54954862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449417114257812 × 2 - 1) × π
    0.101165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.317821644480972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54954862} λ = 0.54954862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317821644480972))-π/2
    2×atan(1.37413115549478)-π/2
    2×0.941699342879557-π/2
    1.88339868575911-1.57079632675     		φ = 0.31260236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54954862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.486817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31260236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.910796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38500 KachelY 29453 0.54954862 0.31260236 31.486817 17.910796
    Oben rechts KachelX + 1 38501 KachelY 29453 0.54964449 0.31260236 31.492310 17.910796
    Unten links KachelX 38500 KachelY + 1 29454 0.54954862 0.31251113 31.486817 17.905569
    Unten rechts KachelX + 1 38501 KachelY + 1 29454 0.54964449 0.31251113 31.492310 17.905569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31260236-0.31251113) × R
    9.12299999999977e-05 × 6371000     		dl = 581.226329999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31260236-0.31251113) × R
    9.12299999999977e-05 × 6371000     		dr = 581.226329999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54954862-0.54964449) × cos(0.31260236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951536473656815 × 6371000     		do = 581.186840818497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54954862-0.54964449) × cos(0.31251113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951564526198566 × 6371000     		du = 581.203974967916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31260236)-sin(0.31251113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951536473656815-0.951564526198566)×R²
    abs(0.54964449-0.54954862)×2.80525417513111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80525417513111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80525417513111e-05×40589641000000     		ar = 337806.074176817m²