Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38498 / 29450
↖ ↑ ↗
← N 17.926476°
E 31.475830°		 ← 581.14 m → N 17.926476°
E 31.481323°		 →
↑
581.16 m
↓
↑
581.16 m
↓
N 17.921250°
E 31.475830°		 ← 581.15 m →
337 739 m²		 N 17.921250°
E 31.481323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587440490722656 y=0.449378967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587440490722656 × 216)
    floor (0.587440490722656 × 65536)
    floor (38498.5)     		tx = 38498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449378967285156 × 216)
    floor (0.449378967285156 × 65536)
    floor (29450.5)     		ty = 29450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38498 / 29450 ti = "16/38498/29450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38498/29450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38498 ÷ 216
    38498 ÷ 65536     		x = 0.587432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29450 ÷ 216
    29450 ÷ 65536     		y = 0.449371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587432861328125 × 2 - 1) × π
    0.17486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54935687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449371337890625 × 2 - 1) × π
    0.10125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.318109265878693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54935687} λ = 0.54935687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318109265878693))-π/2
    2×atan(1.37452644186206)-π/2
    2×0.941836177951275-π/2
    1.88367235590255-1.57079632675     		φ = 0.31287603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54935687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.475830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31287603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.926476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38498 KachelY 29450 0.54935687 0.31287603 31.475830 17.926476
    Oben rechts KachelX + 1 38499 KachelY 29450 0.54945274 0.31287603 31.481323 17.926476
    Unten links KachelX 38498 KachelY + 1 29451 0.54935687 0.31278481 31.475830 17.921250
    Unten rechts KachelX + 1 38499 KachelY + 1 29451 0.54945274 0.31278481 31.481323 17.921250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31287603-0.31278481) × R
    9.1220000000003e-05 × 6371000     		dl = 581.162620000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31287603-0.31278481) × R
    9.1220000000003e-05 × 6371000     		dr = 581.162620000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54935687-0.54945274) × cos(0.31287603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951452274671091 × 6371000     		do = 581.13541310777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54935687-0.54945274) × cos(0.31278481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951480347891976 × 6371000     		du = 581.152559887751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31287603)-sin(0.31278481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951452274671091-0.951480347891976)×R²
    abs(0.54945274-0.54935687)×2.80732208850498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80732208850498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80732208850498e-05×40589641000000     		ar = 337739.162024605m²