Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38489 / 29403
↖ ↑ ↗
← N 18.171949°
E 31.426392°		 ← 580.32 m → N 18.171949°
E 31.431885°		 →
↑
580.33 m
↓
↑
580.33 m
↓
N 18.166730°
E 31.426392°		 ← 580.34 m →
336 787 m²		 N 18.166730°
E 31.431885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587303161621094 y=0.448661804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587303161621094 × 216)
    floor (0.587303161621094 × 65536)
    floor (38489.5)     		tx = 38489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448661804199219 × 216)
    floor (0.448661804199219 × 65536)
    floor (29403.5)     		ty = 29403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38489 / 29403 ti = "16/38489/29403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38489/29403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38489 ÷ 216
    38489 ÷ 65536     		x = 0.587295532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29403 ÷ 216
    29403 ÷ 65536     		y = 0.448654174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587295532226562 × 2 - 1) × π
    0.174591064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54849401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448654174804688 × 2 - 1) × π
    0.102691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.322615334442978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54849401} λ = 0.54849401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322615334442978))-π/2
    2×atan(1.38073412787818)-π/2
    2×0.943978340103653-π/2
    1.88795668020731-1.57079632675     		φ = 0.31716035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54849401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.426392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31716035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.171949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38489 KachelY 29403 0.54849401 0.31716035 31.426392 18.171949
    Oben rechts KachelX + 1 38490 KachelY 29403 0.54858988 0.31716035 31.431885 18.171949
    Unten links KachelX 38489 KachelY + 1 29404 0.54849401 0.31706926 31.426392 18.166730
    Unten rechts KachelX + 1 38490 KachelY + 1 29404 0.54858988 0.31706926 31.431885 18.166730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31716035-0.31706926) × R
    9.10899999999604e-05 × 6371000     		dl = 580.334389999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31716035-0.31706926) × R
    9.10899999999604e-05 × 6371000     		dr = 580.334389999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54849401-0.54858988) × cos(0.31716035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950124848685272 × 6371000     		do = 580.324637550052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54849401-0.54858988) × cos(0.31706926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950153252963502 × 6371000     		du = 580.341986535811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31716035)-sin(0.31706926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950124848685272-0.950153252963502)×R²
    abs(0.54858988-0.54849401)×2.8404278230254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8404278230254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8404278230254e-05×40589641000000     		ar = 336787.378873869m²