Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3848 / 4784
↖ ↑ ↗
← S 28.921631°
W 10.898438°		 ← 4 277.06 m → S 28.921631°
W 10.854492°		 →
↑
4 276.28 m
↓
↑
4 276.28 m
↓
S 28.960089°
W 10.898438°		 ← 4 275.47 m →
18 286 507 m²		 S 28.960089°
W 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46978759765625 y=0.58404541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46978759765625 × 213)
    floor (0.46978759765625 × 8192)
    floor (3848.5)     		tx = 3848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58404541015625 × 213)
    floor (0.58404541015625 × 8192)
    floor (4784.5)     		ty = 4784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3848 / 4784 ti = "13/3848/4784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3848/4784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3848 ÷ 213
    3848 ÷ 8192     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4784 ÷ 213
    4784 ÷ 8192     		y = 0.583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527689391017578))-π/2
    2×atan(0.589966578074895)-π/2
    2×0.533009317941028-π/2
    1.06601863588206-1.57079632675     		φ = -0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3848 KachelY 4784 -0.19021362 -0.50477769 -10.898438 -28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 3849 KachelY 4784 -0.18944663 -0.50477769 -10.854492 -28.921631
    Unten links KachelX 3848 KachelY + 1 4785 -0.19021362 -0.50544890 -10.898438 -28.960089
    Unten rechts KachelX + 1 3849 KachelY + 1 4785 -0.18944663 -0.50544890 -10.854492 -28.960089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50477769--0.50544890) × R
    0.000671210000000033 × 6371000     		dl = 4276.27891000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50477769--0.50544890) × R
    0.000671210000000033 × 6371000     		dr = 4276.27891000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18944663) × cos(-0.50477769) × R
    0.000766989999999995 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 4277.05965910144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18944663) × cos(-0.50544890) × R
    0.000766989999999995 × 0.874957205094802 × 6371000     		du = 4275.47251173288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50477769)-sin(-0.50544890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.874957205094802)×R²
    abs(-0.18944663--0.19021362)×0.000324802936251145×R²
    0.000766989999999995×0.000324802936251145×6371000²
    0.000766989999999995×0.000324802936251145×40589641000000     		ar = 18286507.1611604m²