Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3847 / 2159
↖ ↑ ↗
← N 64.491725°
W 10.942383°		 ← 2 104.33 m → N 64.491725°
W 10.898438°		 →
↑
2 105.04 m
↓
↑
2 105.04 m
↓
N 64.472794°
W 10.942383°		 ← 2 105.78 m →
4 431 230 m²		 N 64.472794°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46966552734375 y=0.26361083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46966552734375 × 213)
    floor (0.46966552734375 × 8192)
    floor (3847.5)     		tx = 3847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26361083984375 × 213)
    floor (0.26361083984375 × 8192)
    floor (2159.5)     		ty = 2159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3847 / 2159 ti = "13/3847/2159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3847/2159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3847 ÷ 213
    3847 ÷ 8192     		x = 0.4696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2159 ÷ 213
    2159 ÷ 8192     		y = 0.2635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19098061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2635498046875 × 2 - 1) × π
    0.472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48566039302478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19098061} λ = -0.19098061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48566039302478))-π/2
    2×atan(4.41788198807882)-π/2
    2×1.34819463454574-π/2
    2.69638926909149-1.57079632675     		φ = 1.12559294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19098061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12559294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.491725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3847 KachelY 2159 -0.19098061 1.12559294 -10.942383 64.491725
    Oben rechts KachelX + 1 3848 KachelY 2159 -0.19021362 1.12559294 -10.898438 64.491725
    Unten links KachelX 3847 KachelY + 1 2160 -0.19098061 1.12526253 -10.942383 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 3848 KachelY + 1 2160 -0.19021362 1.12526253 -10.898438 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12559294-1.12526253) × R
    0.000330409999999892 × 6371000     		dl = 2105.04210999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12559294-1.12526253) × R
    0.000330409999999892 × 6371000     		dr = 2105.04210999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19098061--0.19021362) × cos(1.12559294) × R
    0.000766989999999995 × 0.430641450486717 × 6371000     		do = 2104.3265581992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19098061--0.19021362) × cos(1.12526253) × R
    0.000766989999999995 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 2105.78360858761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12559294)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430641450486717-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.19021362--0.19098061)×0.000298179144417376×R²
    0.000766989999999995×0.000298179144417376×6371000²
    0.000766989999999995×0.000298179144417376×40589641000000     		ar = 4431229.63472255m²