Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3847 / 2117
↖ ↑ ↗
← N 65.275093°
W 10.942383°		 ← 2 043.83 m → N 65.275093°
W 10.898438°		 →
↑
2 044.52 m
↓
↑
2 044.52 m
↓
N 65.256707°
W 10.942383°		 ← 2 045.26 m →
4 180 111 m²		 N 65.256707°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46966552734375 y=0.25848388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46966552734375 × 213)
    floor (0.46966552734375 × 8192)
    floor (3847.5)     		tx = 3847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25848388671875 × 213)
    floor (0.25848388671875 × 8192)
    floor (2117.5)     		ty = 2117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3847 / 2117 ti = "13/3847/2117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3847/2117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3847 ÷ 213
    3847 ÷ 8192     		x = 0.4696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2117 ÷ 213
    2117 ÷ 8192     		y = 0.2584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19098061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2584228515625 × 2 - 1) × π
    0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19098061} λ = -0.19098061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51787398956946))-π/2
    2×atan(4.56251492241452)-π/2
    2×1.35503081438538-π/2
    2.71006162877077-1.57079632675     		φ = 1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19098061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3847 KachelY 2117 -0.19098061 1.13926530 -10.942383 65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 3848 KachelY 2117 -0.19021362 1.13926530 -10.898438 65.275093
    Unten links KachelX 3847 KachelY + 1 2118 -0.19098061 1.13894439 -10.942383 65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 3848 KachelY + 1 2118 -0.19021362 1.13894439 -10.898438 65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13926530-1.13894439) × R
    0.000320909999999897 × 6371000     		dl = 2044.51760999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13926530-1.13894439) × R
    0.000320909999999897 × 6371000     		dr = 2044.51760999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19098061--0.19021362) × cos(1.13926530) × R
    0.000766989999999995 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 2043.83428163529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19098061--0.19021362) × cos(1.13894439) × R
    0.000766989999999995 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 2045.25854537775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13926530)-sin(1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.418553433719698)×R²
    abs(-0.19021362--0.19098061)×0.00029146949723069×R²
    0.000766989999999995×0.00029146949723069×6371000²
    0.000766989999999995×0.00029146949723069×40589641000000     		ar = 4180111.18274922m²