Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38467 / 28749
↖ ↑ ↗
← N 21.550175°
E 31.305542°		 ← 568.15 m → N 21.550175°
E 31.311035°		 →
↑
568.10 m
↓
↑
568.10 m
↓
N 21.545066°
E 31.305542°		 ← 568.17 m →
322 773 m²		 N 21.545066°
E 31.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586967468261719 y=0.438682556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586967468261719 × 216)
    floor (0.586967468261719 × 65536)
    floor (38467.5)     		tx = 38467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438682556152344 × 216)
    floor (0.438682556152344 × 65536)
    floor (28749.5)     		ty = 28749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38467 / 28749 ti = "16/38467/28749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38467/28749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38467 ÷ 216
    38467 ÷ 65536     		x = 0.586959838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28749 ÷ 216
    28749 ÷ 65536     		y = 0.438674926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586959838867188 × 2 - 1) × π
    0.173919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.54638478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438674926757812 × 2 - 1) × π
    0.122650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.385316799146011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54638478} λ = 0.54638478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385316799146011))-π/2
    2×atan(1.47007996775743)-π/2
    2×0.973458920298831-π/2
    1.94691784059766-1.57079632675     		φ = 0.37612151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54638478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.305542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37612151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.550175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38467 KachelY 28749 0.54638478 0.37612151 31.305542 21.550175
    Oben rechts KachelX + 1 38468 KachelY 28749 0.54648066 0.37612151 31.311035 21.550175
    Unten links KachelX 38467 KachelY + 1 28750 0.54638478 0.37603234 31.305542 21.545066
    Unten rechts KachelX + 1 38468 KachelY + 1 28750 0.54648066 0.37603234 31.311035 21.545066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37612151-0.37603234) × R
    8.91699999999718e-05 × 6371000     		dl = 568.10206999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37612151-0.37603234) × R
    8.91699999999718e-05 × 6371000     		dr = 568.10206999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54638478-0.54648066) × cos(0.37612151) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930096258505276 × 6371000     		do = 568.150676050038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54638478-0.54648066) × cos(0.37603234) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930129008363818 × 6371000     		du = 568.170681349598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37612151)-sin(0.37603234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930096258505276-0.930129008363818)×R²
    abs(0.54648066-0.54638478)×3.27498585418473e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27498585418473e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27498585418473e-05×40589641000000     		ar = 322773.257875545m²