Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38457 / 28746
↖ ↑ ↗
← N 21.565502°
E 31.250610°		 ← 568.09 m → N 21.565502°
E 31.256104°		 →
↑
568.10 m
↓
↑
568.10 m
↓
N 21.560393°
E 31.250610°		 ← 568.11 m →
322 739 m²		 N 21.560393°
E 31.256104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586814880371094 y=0.438636779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586814880371094 × 216)
    floor (0.586814880371094 × 65536)
    floor (38457.5)     		tx = 38457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438636779785156 × 216)
    floor (0.438636779785156 × 65536)
    floor (28746.5)     		ty = 28746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38457 / 28746 ti = "16/38457/28746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38457/28746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38457 ÷ 216
    38457 ÷ 65536     		x = 0.586807250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28746 ÷ 216
    28746 ÷ 65536     		y = 0.438629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586807250976562 × 2 - 1) × π
    0.173614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54542604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438629150390625 × 2 - 1) × π
    0.12274169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.385604420543732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54542604} λ = 0.54542604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385604420543732))-π/2
    2×atan(1.47050285502531)-π/2
    2×0.973592671024612-π/2
    1.94718534204922-1.57079632675     		φ = 0.37638902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54542604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.250610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37638902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.565502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38457 KachelY 28746 0.54542604 0.37638902 31.250610 21.565502
    Oben rechts KachelX + 1 38458 KachelY 28746 0.54552192 0.37638902 31.256104 21.565502
    Unten links KachelX 38457 KachelY + 1 28747 0.54542604 0.37629985 31.250610 21.560393
    Unten rechts KachelX + 1 38458 KachelY + 1 28747 0.54552192 0.37629985 31.256104 21.560393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37638902-0.37629985) × R
    8.91700000000273e-05 × 6371000     		dl = 568.102070000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37638902-0.37629985) × R
    8.91700000000273e-05 × 6371000     		dr = 568.102070000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54542604-0.54552192) × cos(0.37638902) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.929997964557908 × 6371000     		do = 568.090633047471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54542604-0.54552192) × cos(0.37629985) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.930030736602061 × 6371000     		du = 568.110651899144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37638902)-sin(0.37629985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929997964557908-0.930030736602061)×R²
    abs(0.54552192-0.54542604)×3.27720441526402e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.27720441526402e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.27720441526402e-05×40589641000000     		ar = 322739.151171504m²