Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3845 / 2137
↖ ↑ ↗
← N 64.904910°
W 11.030274°		 ← 2 072.47 m → N 64.904910°
W 10.986328°		 →
↑
2 073.19 m
↓
↑
2 073.19 m
↓
N 64.886265°
W 11.030274°		 ← 2 073.91 m →
4 298 107 m²		 N 64.886265°
W 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46942138671875 y=0.26092529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46942138671875 × 213)
    floor (0.46942138671875 × 8192)
    floor (3845.5)     		tx = 3845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26092529296875 × 213)
    floor (0.26092529296875 × 8192)
    floor (2137.5)     		ty = 2137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3845 / 2137 ti = "13/3845/2137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3845/2137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3845 ÷ 213
    3845 ÷ 8192     		x = 0.4693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2137 ÷ 213
    2137 ÷ 8192     		y = 0.2608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19251459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2608642578125 × 2 - 1) × π
    0.478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50253418169104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19251459} λ = -0.19251459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50253418169104))-π/2
    2×atan(4.49306088776492)-π/2
    2×1.35180035392169-π/2
    2.70360070784337-1.57079632675     		φ = 1.13280438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19251459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.030274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13280438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.904910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3845 KachelY 2137 -0.19251459 1.13280438 -11.030274 64.904910
    Oben rechts KachelX + 1 3846 KachelY 2137 -0.19174760 1.13280438 -10.986328 64.904910
    Unten links KachelX 3845 KachelY + 1 2138 -0.19251459 1.13247897 -11.030274 64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 3846 KachelY + 1 2138 -0.19174760 1.13247897 -10.986328 64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13280438-1.13247897) × R
    0.000325410000000081 × 6371000     		dl = 2073.18711000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13280438-1.13247897) × R
    0.000325410000000081 × 6371000     		dr = 2073.18711000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19251459--0.19174760) × cos(1.13280438) × R
    0.000766990000000023 × 0.424121818057005 × 6371000     		do = 2072.46841807822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19251459--0.19174760) × cos(1.13247897) × R
    0.000766990000000023 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 2073.90832355011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13280438)-sin(1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424121818057005-0.424416488567418)×R²
    abs(-0.19174760--0.19251459)×0.000294670510412376×R²
    0.000766990000000023×0.000294670510412376×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294670510412376×40589641000000     		ar = 4298107.44490459m²