Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38442 / 29178
↖ ↑ ↗
← N 19.342245°
E 31.168213°		 ← 576.31 m → N 19.342245°
E 31.173706°		 →
↑
576.32 m
↓
↑
576.32 m
↓
N 19.337062°
E 31.168213°		 ← 576.33 m →
332 146 m²		 N 19.337062°
E 31.173706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586585998535156 y=0.445228576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586585998535156 × 216)
    floor (0.586585998535156 × 65536)
    floor (38442.5)     		tx = 38442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445228576660156 × 216)
    floor (0.445228576660156 × 65536)
    floor (29178.5)     		ty = 29178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38442 / 29178 ti = "16/38442/29178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38442/29178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38442 ÷ 216
    38442 ÷ 65536     		x = 0.586578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29178 ÷ 216
    29178 ÷ 65536     		y = 0.445220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586578369140625 × 2 - 1) × π
    0.17315673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54398794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    0.10955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.344186939272003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54398794} λ = 0.54398794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344186939272003))-π/2
    2×atan(1.41084235269969)-π/2
    2×0.954191093353341-π/2
    1.90838218670668-1.57079632675     		φ = 0.33758586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54398794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.168213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33758586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.342245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38442 KachelY 29178 0.54398794 0.33758586 31.168213 19.342245
    Oben rechts KachelX + 1 38443 KachelY 29178 0.54408381 0.33758586 31.173706 19.342245
    Unten links KachelX 38442 KachelY + 1 29179 0.54398794 0.33749540 31.168213 19.337062
    Unten rechts KachelX + 1 38443 KachelY + 1 29179 0.54408381 0.33749540 31.173706 19.337062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33758586-0.33749540) × R
    9.04600000000144e-05 × 6371000     		dl = 576.320660000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33758586-0.33749540) × R
    9.04600000000144e-05 × 6371000     		dr = 576.320660000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54398794-0.54408381) × cos(0.33758586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94355700205528 × 6371000     		do = 576.313077153217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54398794-0.54408381) × cos(0.33749540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943586959467627 × 6371000     		du = 576.3313747743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33758586)-sin(0.33749540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94355700205528-0.943586959467627)×R²
    abs(0.54408381-0.54398794)×2.99574123463486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99574123463486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99574123463486e-05×40589641000000     		ar = 332146.405866659m²