Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38435 / 30881
↖ ↑ ↗
← N 10.309515°
E 31.129761°		 ← 600.93 m → N 10.309515°
E 31.135254°		 →
↑
600.98 m
↓
↑
600.98 m
↓
N 10.304110°
E 31.129761°		 ← 600.94 m →
361 146 m²		 N 10.304110°
E 31.135254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586479187011719 y=0.471214294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586479187011719 × 216)
    floor (0.586479187011719 × 65536)
    floor (38435.5)     		tx = 38435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471214294433594 × 216)
    floor (0.471214294433594 × 65536)
    floor (30881.5)     		ty = 30881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38435 / 30881 ti = "16/38435/30881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38435/30881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38435 ÷ 216
    38435 ÷ 65536     		x = 0.586471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30881 ÷ 216
    30881 ÷ 65536     		y = 0.471206665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586471557617188 × 2 - 1) × π
    0.172943115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.54331682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471206665039062 × 2 - 1) × π
    0.057586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.180913859166092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54331682} λ = 0.54331682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.180913859166092))-π/2
    2×atan(1.19831195125643)-π/2
    2×0.87536565263277-π/2
    1.75073130526554-1.57079632675     		φ = 0.17993498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54331682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.129761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17993498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.309515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38435 KachelY 30881 0.54331682 0.17993498 31.129761 10.309515
    Oben rechts KachelX + 1 38436 KachelY 30881 0.54341269 0.17993498 31.135254 10.309515
    Unten links KachelX 38435 KachelY + 1 30882 0.54331682 0.17984065 31.129761 10.304110
    Unten rechts KachelX + 1 38436 KachelY + 1 30882 0.54341269 0.17984065 31.135254 10.304110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17993498-0.17984065) × R
    9.43300000000036e-05 × 6371000     		dl = 600.976430000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17993498-0.17984065) × R
    9.43300000000036e-05 × 6371000     		dr = 600.976430000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54331682-0.54341269) × cos(0.17993498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983855331211328 × 6371000     		do = 600.926803753166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54331682-0.54341269) × cos(0.17984065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983872208659439 × 6371000     		du = 600.93711229206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17993498)-sin(0.17984065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983855331211328-0.983872208659439)×R²
    abs(0.54341269-0.54331682)×1.68774481104084e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68774481104084e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68774481104084e-05×40589641000000     		ar = 361145.943073216m²