Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3843 / 2140
↖ ↑ ↗
← N 64.848937°
W 11.118164°		 ← 2 076.79 m → N 64.848937°
W 11.074219°		 →
↑
2 077.52 m
↓
↑
2 077.52 m
↓
N 64.830254°
W 11.118164°		 ← 2 078.23 m →
4 316 071 m²		 N 64.830254°
W 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46917724609375 y=0.26129150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46917724609375 × 213)
    floor (0.46917724609375 × 8192)
    floor (3843.5)     		tx = 3843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26129150390625 × 213)
    floor (0.26129150390625 × 8192)
    floor (2140.5)     		ty = 2140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3843 / 2140 ti = "13/3843/2140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3843/2140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3843 ÷ 213
    3843 ÷ 8192     		x = 0.4691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2140 ÷ 213
    2140 ÷ 8192     		y = 0.26123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26123046875 × 2 - 1) × π
    0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19404857} λ = -0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50023321050928))-π/2
    2×atan(4.48273436921118)-π/2
    2×1.35131189922269-π/2
    2.70262379844538-1.57079632675     		φ = 1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3843 KachelY 2140 -0.19404857 1.13182747 -11.118164 64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 3844 KachelY 2140 -0.19328158 1.13182747 -11.074219 64.848937
    Unten links KachelX 3843 KachelY + 1 2141 -0.19404857 1.13150138 -11.118164 64.830254
    Unten rechts KachelX + 1 3844 KachelY + 1 2141 -0.19328158 1.13150138 -11.074219 64.830254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13182747-1.13150138) × R
    0.000326089999999946 × 6371000     		dl = 2077.51938999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13182747-1.13150138) × R
    0.000326089999999946 × 6371000     		dr = 2077.51938999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19404857--0.19328158) × cos(1.13182747) × R
    0.000766989999999995 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 2076.79048329361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19404857--0.19328158) × cos(1.13150138) × R
    0.000766989999999995 × 0.425301461191619 × 6371000     		du = 2078.23273634003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13182747)-sin(1.13150138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.425301461191619)×R²
    abs(-0.19328158--0.19404857)×0.000295150931522936×R²
    0.000766989999999995×0.000295150931522936×6371000²
    0.000766989999999995×0.000295150931522936×40589641000000     		ar = 4316070.69058933m²