Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38428 / 29179
↖ ↑ ↗
← N 19.337062°
E 31.091308°		 ← 576.39 m → N 19.337062°
E 31.096802°		 →
↑
576.38 m
↓
↑
576.38 m
↓
N 19.331878°
E 31.091308°		 ← 576.41 m →
332 228 m²		 N 19.331878°
E 31.096802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586372375488281 y=0.445243835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586372375488281 × 216)
    floor (0.586372375488281 × 65536)
    floor (38428.5)     		tx = 38428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445243835449219 × 216)
    floor (0.445243835449219 × 65536)
    floor (29179.5)     		ty = 29179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38428 / 29179 ti = "16/38428/29179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38428/29179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38428 ÷ 216
    38428 ÷ 65536     		x = 0.58636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29179 ÷ 216
    29179 ÷ 65536     		y = 0.445236206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58636474609375 × 2 - 1) × π
    0.1727294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54264570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445236206054688 × 2 - 1) × π
    0.109527587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.344091065472763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54264570} λ = 0.54264570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344091065472763))-π/2
    2×atan(1.41070709636708)-π/2
    2×0.954145861437956-π/2
    1.90829172287591-1.57079632675     		φ = 0.33749540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54264570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.091308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33749540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.337062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38428 KachelY 29179 0.54264570 0.33749540 31.091308 19.337062
    Oben rechts KachelX + 1 38429 KachelY 29179 0.54274158 0.33749540 31.096802 19.337062
    Unten links KachelX 38428 KachelY + 1 29180 0.54264570 0.33740493 31.091308 19.331878
    Unten rechts KachelX + 1 38429 KachelY + 1 29180 0.54274158 0.33740493 31.096802 19.331878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33749540-0.33740493) × R
    9.04700000000092e-05 × 6371000     		dl = 576.384370000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33749540-0.33740493) × R
    9.04700000000092e-05 × 6371000     		dr = 576.384370000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54264570-0.54274158) × cos(0.33749540) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943586959467627 × 6371000     		do = 576.391490699122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54264570-0.54274158) × cos(0.33740493) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943616912468985 × 6371000     		du = 576.409787534332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33749540)-sin(0.33740493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943586959467627-0.943616912468985)×R²
    abs(0.54274158-0.54264570)×2.99530013578853e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99530013578853e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99530013578853e-05×40589641000000     		ar = 332228.319471551m²