Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38423 / 29183
↖ ↑ ↗
← N 19.316327°
E 31.063843°		 ← 576.46 m → N 19.316327°
E 31.069336°		 →
↑
576.45 m
↓
↑
576.45 m
↓
N 19.311143°
E 31.063843°		 ← 576.48 m →
332 307 m²		 N 19.311143°
E 31.069336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586296081542969 y=0.445304870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586296081542969 × 216)
    floor (0.586296081542969 × 65536)
    floor (38423.5)     		tx = 38423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445304870605469 × 216)
    floor (0.445304870605469 × 65536)
    floor (29183.5)     		ty = 29183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38423 / 29183 ti = "16/38423/29183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38423/29183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38423 ÷ 216
    38423 ÷ 65536     		x = 0.586288452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29183 ÷ 216
    29183 ÷ 65536     		y = 0.445297241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586288452148438 × 2 - 1) × π
    0.172576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54216633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445297241210938 × 2 - 1) × π
    0.109405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.343707570275803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54216633} λ = 0.54216633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343707570275803))-π/2
    2×atan(1.41016620069338)-π/2
    2×0.953964919420023-π/2
    1.90792983884005-1.57079632675     		φ = 0.33713351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54216633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.063843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33713351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.316327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38423 KachelY 29183 0.54216633 0.33713351 31.063843 19.316327
    Oben rechts KachelX + 1 38424 KachelY 29183 0.54226221 0.33713351 31.069336 19.316327
    Unten links KachelX 38423 KachelY + 1 29184 0.54216633 0.33704303 31.063843 19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 38424 KachelY + 1 29184 0.54226221 0.33704303 31.069336 19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33713351-0.33704303) × R
    9.04800000000039e-05 × 6371000     		dl = 576.448080000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33713351-0.33704303) × R
    9.04800000000039e-05 × 6371000     		dr = 576.448080000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54216633-0.54226221) × cos(0.33713351) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943706728439899 × 6371000     		do = 576.464651753092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54216633-0.54226221) × cos(0.33704303) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 576.482931735712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33713351)-sin(0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943706728439899-0.94373665385257)×R²
    abs(0.54226221-0.54216633)×2.99254126715498e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99254126715498e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99254126715498e-05×40589641000000     		ar = 332307.210648174m²