Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3841 / 2173
↖ ↑ ↗
← N 64.225493°
W 11.206055°		 ← 2 124.80 m → N 64.225493°
W 11.162109°		 →
↑
2 125.56 m
↓
↑
2 125.56 m
↓
N 64.206377°
W 11.206055°		 ← 2 126.26 m →
4 517 935 m²		 N 64.206377°
W 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46893310546875 y=0.26531982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46893310546875 × 213)
    floor (0.46893310546875 × 8192)
    floor (3841.5)     		tx = 3841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26531982421875 × 213)
    floor (0.26531982421875 × 8192)
    floor (2173.5)     		ty = 2173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3841 / 2173 ti = "13/3841/2173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3841/2173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3841 ÷ 213
    3841 ÷ 8192     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2173 ÷ 213
    2173 ÷ 8192     		y = 0.2652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2652587890625 × 2 - 1) × π
    0.469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47492252750989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47492252750989))-π/2
    2×atan(4.37069715102117)-π/2
    2×1.34587131822154-π/2
    2.69174263644308-1.57079632675     		φ = 1.12094631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12094631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.225493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3841 KachelY 2173 -0.19558255 1.12094631 -11.206055 64.225493
    Oben rechts KachelX + 1 3842 KachelY 2173 -0.19481556 1.12094631 -11.162109 64.225493
    Unten links KachelX 3841 KachelY + 1 2174 -0.19558255 1.12061268 -11.206055 64.206377
    Unten rechts KachelX + 1 3842 KachelY + 1 2174 -0.19481556 1.12061268 -11.162109 64.206377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12094631-1.12061268) × R
    0.000333629999999863 × 6371000     		dl = 2125.55672999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12094631-1.12061268) × R
    0.000333629999999863 × 6371000     		dr = 2125.55672999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19481556) × cos(1.12094631) × R
    0.000766989999999995 × 0.434830477277033 × 6371000     		do = 2124.79620950171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19481556) × cos(1.12061268) × R
    0.000766989999999995 × 0.435130890999766 × 6371000     		du = 2126.26417914207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12094631)-sin(1.12061268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434830477277033-0.435130890999766)×R²
    abs(-0.19481556--0.19558255)×0.000300413722733095×R²
    0.000766989999999995×0.000300413722733095×6371000²
    0.000766989999999995×0.000300413722733095×40589641000000     		ar = 4517935.05126158m²