Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3840 / 3842
↖ ↑ ↗
← N 68.640555°
W 95.625000°		 ← 889.89 m → N 68.640555°
W 95.603027°		 →
↑
890.03 m
↓
↑
890.03 m
↓
N 68.632551°
W 95.625000°		 ← 890.20 m →
792 165 m²		 N 68.632551°
W 95.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234405517578125 y=0.234527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234405517578125 × 214)
    floor (0.234405517578125 × 16384)
    floor (3840.5)     		tx = 3840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234527587890625 × 214)
    floor (0.234527587890625 × 16384)
    floor (3842.5)     		ty = 3842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3840 / 3842 ti = "14/3840/3842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3840/3842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3840 ÷ 214
    3840 ÷ 16384     		x = 0.234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3842 ÷ 214
    3842 ÷ 16384     		y = 0.2344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234375 × 2 - 1) × π
    -0.53125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2344970703125 × 2 - 1) × π
    0.531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66897110} λ = -1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66820410677795))-π/2
    2×atan(5.30263627240199)-π/2
    2×1.38440000631614-π/2
    2.76880001263228-1.57079632675     		φ = 1.19800369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19800369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.640555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3840 KachelY 3842 -1.66897110 1.19800369 -95.625000 68.640555
    Oben rechts KachelX + 1 3841 KachelY 3842 -1.66858760 1.19800369 -95.603027 68.640555
    Unten links KachelX 3840 KachelY + 1 3843 -1.66897110 1.19786399 -95.625000 68.632551
    Unten rechts KachelX + 1 3841 KachelY + 1 3843 -1.66858760 1.19786399 -95.603027 68.632551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19800369-1.19786399) × R
    0.000139699999999854 × 6371000     		dl = 890.028699999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19800369-1.19786399) × R
    0.000139699999999854 × 6371000     		dr = 890.028699999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66897110--1.66858760) × cos(1.19800369) × R
    0.000383500000000092 × 0.364217670144992 × 6371000     		do = 889.885202785565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66897110--1.66858760) × cos(1.19786399) × R
    0.000383500000000092 × 0.364347771135478 × 6371000     		du = 890.203075738448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19800369)-sin(1.19786399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364217670144992-0.364347771135478)×R²
    abs(-1.66858760--1.66897110)×0.000130100990485715×R²
    0.000383500000000092×0.000130100990485715×6371000²
    0.000383500000000092×0.000130100990485715×40589641000000     		ar = 792164.829497059m²