Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 384 / 405
↖ ↑ ↗
← S 71.746432°
E 90.000000°		 ← 24.489 km → S 71.746432°
E 90.703125°		 →
↑
24.347 km
↓
↑
24.347 km
↓
S 71.965388°
E 90.000000°		 ← 24.205 km →
592.772 km²		 S 71.965388°
E 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7509765625 y=0.7919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7509765625 × 29)
    floor (0.7509765625 × 512)
    floor (384.5)     		tx = 384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7919921875 × 29)
    floor (0.7919921875 × 512)
    floor (405.5)     		ty = 405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 384 / 405 ti = "9/384/405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/384/405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 384 ÷ 29
    384 ÷ 512     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 405 ÷ 29
    405 ÷ 512     		y = 0.791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791015625 × 2 - 1) × π
    -0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82850509910742))-π/2
    2×atan(0.160653549490571)-π/2
    2×0.159292433378349-π/2
    0.318584866756697-1.57079632675     		φ = -1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 384 KachelY 405 1.57079633 -1.25221146 90.000000 -71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 385 KachelY 405 1.58306817 -1.25221146 90.703125 -71.746432
    Unten links KachelX 384 KachelY + 1 406 1.57079633 -1.25603296 90.000000 -71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 385 KachelY + 1 406 1.58306817 -1.25603296 90.703125 -71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25221146--1.25603296) × R
    0.00382149999999992 × 6371000     		dl = 24346.7764999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25221146--1.25603296) × R
    0.00382149999999992 × 6371000     		dr = 24346.7764999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.58306817) × cos(-1.25221146) × R
    0.0122718399999999 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 24488.9896147364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.58306817) × cos(-1.25603296) × R
    0.0122718399999999 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 24205.066452971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25221146)-sin(-1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.30959147256103)×R²
    abs(1.58306817-1.57079633)×0.00363147896808863×R²
    0.0122718399999999×0.00363147896808863×6371000²
    0.0122718399999999×0.00363147896808863×40589641000000     		ar = 592772371.376814m²