Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38395 / 30807
↖ ↑ ↗
← N 10.709189°
E 30.910034°		 ← 600.15 m → N 10.709189°
E 30.915527°		 →
↑
600.15 m
↓
↑
600.15 m
↓
N 10.703792°
E 30.910034°		 ← 600.16 m →
360 182 m²		 N 10.703792°
E 30.915527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585868835449219 y=0.470085144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585868835449219 × 216)
    floor (0.585868835449219 × 65536)
    floor (38395.5)     		tx = 38395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470085144042969 × 216)
    floor (0.470085144042969 × 65536)
    floor (30807.5)     		ty = 30807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38395 / 30807 ti = "16/38395/30807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38395/30807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38395 ÷ 216
    38395 ÷ 65536     		x = 0.585861206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30807 ÷ 216
    30807 ÷ 65536     		y = 0.470077514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585861206054688 × 2 - 1) × π
    0.171722412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53948187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470077514648438 × 2 - 1) × π
    0.059844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.18800852030986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53948187} λ = 0.53948187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.18800852030986))-π/2
    2×atan(1.20684379798891)-π/2
    2×0.87885346970551-π/2
    1.75770693941102-1.57079632675     		φ = 0.18691061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53948187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.910034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18691061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.709189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38395 KachelY 30807 0.53948187 0.18691061 30.910034 10.709189
    Oben rechts KachelX + 1 38396 KachelY 30807 0.53957774 0.18691061 30.915527 10.709189
    Unten links KachelX 38395 KachelY + 1 30808 0.53948187 0.18681641 30.910034 10.703792
    Unten rechts KachelX + 1 38396 KachelY + 1 30808 0.53957774 0.18681641 30.915527 10.703792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18691061-0.18681641) × R
    9.42000000000165e-05 × 6371000     		dl = 600.148200000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18691061-0.18681641) × R
    9.42000000000165e-05 × 6371000     		dr = 600.148200000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53948187-0.53957774) × cos(0.18691061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982583006687907 × 6371000     		do = 600.149683494789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53948187-0.53957774) × cos(0.18681641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982600506968399 × 6371000     		du = 600.160372452085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18691061)-sin(0.18681641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982583006687907-0.982600506968399)×R²
    abs(0.53957774-0.53948187)×1.75002804916335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75002804916335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75002804916335e-05×40589641000000     		ar = 360181.960025538m²