Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38392 / 30806
↖ ↑ ↗
← N 10.714587°
E 30.893555°		 ← 600.14 m → N 10.714587°
E 30.899048°		 →
↑
600.21 m
↓
↑
600.21 m
↓
N 10.709189°
E 30.893555°		 ← 600.15 m →
360 214 m²		 N 10.709189°
E 30.899048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585823059082031 y=0.470069885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585823059082031 × 216)
    floor (0.585823059082031 × 65536)
    floor (38392.5)     		tx = 38392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470069885253906 × 216)
    floor (0.470069885253906 × 65536)
    floor (30806.5)     		ty = 30806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38392 / 30806 ti = "16/38392/30806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38392/30806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38392 ÷ 216
    38392 ÷ 65536     		x = 0.5858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30806 ÷ 216
    30806 ÷ 65536     		y = 0.470062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5858154296875 × 2 - 1) × π
    0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470062255859375 × 2 - 1) × π
    0.05987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.1881043941091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53919425} λ = 0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1881043941091))-π/2
    2×atan(1.20695950823562)-π/2
    2×0.878900571268803-π/2
    1.75780114253761-1.57079632675     		φ = 0.18700482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18700482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.714587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38392 KachelY 30806 0.53919425 0.18700482 30.893555 10.714587
    Oben rechts KachelX + 1 38393 KachelY 30806 0.53929012 0.18700482 30.899048 10.714587
    Unten links KachelX 38392 KachelY + 1 30807 0.53919425 0.18691061 30.893555 10.709189
    Unten rechts KachelX + 1 38393 KachelY + 1 30807 0.53929012 0.18691061 30.899048 10.709189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18700482-0.18691061) × R
    9.42099999999835e-05 × 6371000     		dl = 600.211909999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18700482-0.18691061) × R
    9.42099999999835e-05 × 6371000     		dr = 600.211909999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53919425-0.53929012) × cos(0.18700482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98256549582916 × 6371000     		do = 600.138988076424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53919425-0.53929012) × cos(0.18691061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982583006687907 × 6371000     		du = 600.149683494789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18700482)-sin(0.18691061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98256549582916-0.982583006687907)×R²
    abs(0.53929012-0.53919425)×1.75108587471273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75108587471273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75108587471273e-05×40589641000000     		ar = 360213.778323906m²