Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38383 / 29551
↖ ↑ ↗
← N 17.397821°
E 30.844116°		 ← 582.91 m → N 17.397821°
E 30.849610°		 →
↑
582.88 m
↓
↑
582.88 m
↓
N 17.392579°
E 30.844116°		 ← 582.92 m →
339 771 m²		 N 17.392579°
E 30.849610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585685729980469 y=0.450920104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585685729980469 × 216)
    floor (0.585685729980469 × 65536)
    floor (38383.5)     		tx = 38383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450920104980469 × 216)
    floor (0.450920104980469 × 65536)
    floor (29551.5)     		ty = 29551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38383 / 29551 ti = "16/38383/29551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38383/29551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38383 ÷ 216
    38383 ÷ 65536     		x = 0.585678100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29551 ÷ 216
    29551 ÷ 65536     		y = 0.450912475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585678100585938 × 2 - 1) × π
    0.171356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53833138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450912475585938 × 2 - 1) × π
    0.098175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.308426012155441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53833138} λ = 0.53833138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308426012155441))-π/2
    2×atan(1.36128078759023)-π/2
    2×0.937222794763816-π/2
    1.87444558952763-1.57079632675     		φ = 0.30364926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53833138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.844116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30364926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.397821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38383 KachelY 29551 0.53833138 0.30364926 30.844116 17.397821
    Oben rechts KachelX + 1 38384 KachelY 29551 0.53842726 0.30364926 30.849610 17.397821
    Unten links KachelX 38383 KachelY + 1 29552 0.53833138 0.30355777 30.844116 17.392579
    Unten rechts KachelX + 1 38384 KachelY + 1 29552 0.53842726 0.30355777 30.849610 17.392579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30364926-0.30355777) × R
    9.14899999999719e-05 × 6371000     		dl = 582.882789999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30364926-0.30355777) × R
    9.14899999999719e-05 × 6371000     		dr = 582.882789999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53833138-0.53842726) × cos(0.30364926) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.95425170030181 × 6371000     		do = 582.906063421495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53833138-0.53842726) × cos(0.30355777) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.954279052229955 × 6371000     		du = 582.922771387283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30364926)-sin(0.30355777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95425170030181-0.954279052229955)×R²
    abs(0.53842726-0.53833138)×2.73519281449586e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.73519281449586e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.73519281449586e-05×40589641000000     		ar = 339770.782184678m²