Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3838 / 4779
↖ ↑ ↗
← S 28.729131°
W 11.337891°		 ← 4 284.98 m → S 28.729131°
W 11.293945°		 →
↑
4 284.18 m
↓
↑
4 284.18 m
↓
S 28.767659°
W 11.337891°		 ← 4 283.39 m →
18 354 216 m²		 S 28.767659°
W 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46856689453125 y=0.58343505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46856689453125 × 213)
    floor (0.46856689453125 × 8192)
    floor (3838.5)     		tx = 3838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58343505859375 × 213)
    floor (0.58343505859375 × 8192)
    floor (4779.5)     		ty = 4779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3838 / 4779 ti = "13/3838/4779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3838/4779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3838 ÷ 213
    3838 ÷ 8192     		x = 0.468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4779 ÷ 213
    4779 ÷ 8192     		y = 0.5833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.523854439047974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19788352} λ = -0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523854439047974))-π/2
    2×atan(0.592233415393434)-π/2
    2×0.53468920431855-π/2
    1.0693784086371-1.57079632675     		φ = -0.50141792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50141792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.729131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3838 KachelY 4779 -0.19788352 -0.50141792 -11.337891 -28.729131
    Oben rechts KachelX + 1 3839 KachelY 4779 -0.19711653 -0.50141792 -11.293945 -28.729131
    Unten links KachelX 3838 KachelY + 1 4780 -0.19788352 -0.50209037 -11.337891 -28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 3839 KachelY + 1 4780 -0.19711653 -0.50209037 -11.293945 -28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50141792--0.50209037) × R
    0.000672450000000047 × 6371000     		dl = 4284.1789500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50141792--0.50209037) × R
    0.000672450000000047 × 6371000     		dr = 4284.1789500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19788352--0.19711653) × cos(-0.50141792) × R
    0.000766989999999995 × 0.876901892869998 × 6371000     		do = 4284.97521549752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19788352--0.19711653) × cos(-0.50209037) × R
    0.000766989999999995 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 4283.39480445882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50141792)-sin(-0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876901892869998-0.876578468494909)×R²
    abs(-0.19711653--0.19788352)×0.000323424375089032×R²
    0.000766989999999995×0.000323424375089032×6371000²
    0.000766989999999995×0.000323424375089032×40589641000000     		ar = 18354215.929287m²