Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38358 / 30796
↖ ↑ ↗
← N 10.768556°
E 30.706787°		 ← 600.03 m → N 10.768556°
E 30.712280°		 →
↑
600.02 m
↓
↑
600.02 m
↓
N 10.763159°
E 30.706787°		 ← 600.04 m →
360 035 m²		 N 10.763159°
E 30.712280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585304260253906 y=0.469917297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585304260253906 × 216)
    floor (0.585304260253906 × 65536)
    floor (38358.5)     		tx = 38358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469917297363281 × 216)
    floor (0.469917297363281 × 65536)
    floor (30796.5)     		ty = 30796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38358 / 30796 ti = "16/38358/30796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38358/30796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38358 ÷ 216
    38358 ÷ 65536     		x = 0.585296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30796 ÷ 216
    30796 ÷ 65536     		y = 0.46990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585296630859375 × 2 - 1) × π
    0.17059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53593454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46990966796875 × 2 - 1) × π
    0.0601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.189063132101501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53593454} λ = 0.53593454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189063132101501))-π/2
    2×atan(1.2081172210544)-π/2
    2×0.879371540659638-π/2
    1.75874308131928-1.57079632675     		φ = 0.18794675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53593454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.706787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18794675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.768556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38358 KachelY 30796 0.53593454 0.18794675 30.706787 10.768556
    Oben rechts KachelX + 1 38359 KachelY 30796 0.53603041 0.18794675 30.712280 10.768556
    Unten links KachelX 38358 KachelY + 1 30797 0.53593454 0.18785257 30.706787 10.763159
    Unten rechts KachelX + 1 38359 KachelY + 1 30797 0.53603041 0.18785257 30.712280 10.763159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18794675-0.18785257) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dl = 600.020779999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18794675-0.18785257) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dr = 600.020779999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53593454-0.53603041) × cos(0.18794675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982389939387454 × 6371000     		do = 600.031760348885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53593454-0.53603041) × cos(0.18785257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982407531828808 × 6371000     		du = 600.042505596909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18794675)-sin(0.18785257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982389939387454-0.982407531828808)×R²
    abs(0.53603041-0.53593454)×1.75924413542417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75924413542417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75924413542417e-05×40589641000000     		ar = 360034.748821446m²