Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38355 / 30799
↖ ↑ ↗
← N 10.752366°
E 30.690308°		 ← 600.06 m → N 10.752366°
E 30.695801°		 →
↑
600.08 m
↓
↑
600.08 m
↓
N 10.746969°
E 30.690308°		 ← 600.07 m →
360 092 m²		 N 10.746969°
E 30.695801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585258483886719 y=0.469963073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585258483886719 × 216)
    floor (0.585258483886719 × 65536)
    floor (38355.5)     		tx = 38355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469963073730469 × 216)
    floor (0.469963073730469 × 65536)
    floor (30799.5)     		ty = 30799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38355 / 30799 ti = "16/38355/30799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38355/30799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38355 ÷ 216
    38355 ÷ 65536     		x = 0.585250854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30799 ÷ 216
    30799 ÷ 65536     		y = 0.469955444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585250854492188 × 2 - 1) × π
    0.170501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53564692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469955444335938 × 2 - 1) × π
    0.060089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.188775510703781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53564692} λ = 0.53564692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188775510703781))-π/2
    2×atan(1.20776979065728)-π/2
    2×0.879230258681703-π/2
    1.75846051736341-1.57079632675     		φ = 0.18766419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53564692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.690308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18766419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.752366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38355 KachelY 30799 0.53564692 0.18766419 30.690308 10.752366
    Oben rechts KachelX + 1 38356 KachelY 30799 0.53574279 0.18766419 30.695801 10.752366
    Unten links KachelX 38355 KachelY + 1 30800 0.53564692 0.18757000 30.690308 10.746969
    Unten rechts KachelX + 1 38356 KachelY + 1 30800 0.53574279 0.18757000 30.695801 10.746969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18766419-0.18757000) × R
    9.41900000000218e-05 × 6371000     		dl = 600.084490000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18766419-0.18757000) × R
    9.41900000000218e-05 × 6371000     		dr = 600.084490000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53564692-0.53574279) × cos(0.18766419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982442694301165 × 6371000     		do = 600.063982404987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53564692-0.53574279) × cos(0.18757000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982460262463433 × 6371000     		du = 600.074712823642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18766419)-sin(0.18757000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982442694301165-0.982460262463433)×R²
    abs(0.53574279-0.53564692)×1.75681622682777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75681622682777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75681622682777e-05×40589641000000     		ar = 360092.308694095m²