Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38353 / 30801
↖ ↑ ↗
← N 10.741573°
E 30.679321°		 ← 600.09 m → N 10.741573°
E 30.684814°		 →
↑
600.15 m
↓
↑
600.15 m
↓
N 10.736175°
E 30.679321°		 ← 600.10 m →
360 143 m²		 N 10.736175°
E 30.684814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585227966308594 y=0.469993591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585227966308594 × 216)
    floor (0.585227966308594 × 65536)
    floor (38353.5)     		tx = 38353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469993591308594 × 216)
    floor (0.469993591308594 × 65536)
    floor (30801.5)     		ty = 30801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38353 / 30801 ti = "16/38353/30801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38353/30801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38353 ÷ 216
    38353 ÷ 65536     		x = 0.585220336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30801 ÷ 216
    30801 ÷ 65536     		y = 0.469985961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585220336914062 × 2 - 1) × π
    0.170440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53545517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469985961914062 × 2 - 1) × π
    0.060028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.188583763105301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53545517} λ = 0.53545517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188583763105301))-π/2
    2×atan(1.2075382259021)-π/2
    2×0.879136066483859-π/2
    1.75827213296772-1.57079632675     		φ = 0.18747581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53545517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.679321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18747581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.741573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38353 KachelY 30801 0.53545517 0.18747581 30.679321 10.741573
    Oben rechts KachelX + 1 38354 KachelY 30801 0.53555104 0.18747581 30.684814 10.741573
    Unten links KachelX 38353 KachelY + 1 30802 0.53545517 0.18738161 30.679321 10.736175
    Unten rechts KachelX + 1 38354 KachelY + 1 30802 0.53555104 0.18738161 30.684814 10.736175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18747581-0.18738161) × R
    9.41999999999887e-05 × 6371000     		dl = 600.148199999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18747581-0.18738161) × R
    9.41999999999887e-05 × 6371000     		dr = 600.148199999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53545517-0.53555104) × cos(0.18747581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982477821909553 × 6371000     		do = 600.08543791858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53545517-0.53555104) × cos(0.18738161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98249537450224 × 6371000     		du = 600.096158827525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18747581)-sin(0.18738161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982477821909553-0.98249537450224)×R²
    abs(0.53555104-0.53545517)×1.75525926866538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75525926866538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75525926866538e-05×40589641000000     		ar = 360143.412746416m²