Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3835 / 2557
↖ ↑ ↗
← N 55.850650°
W 11.469726°		 ← 2 743.04 m → N 55.850650°
W 11.425781°		 →
↑
2 743.93 m
↓
↑
2 743.93 m
↓
N 55.825973°
W 11.469726°		 ← 2 744.78 m →
7 529 096 m²		 N 55.825973°
W 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46820068359375 y=0.31219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46820068359375 × 213)
    floor (0.46820068359375 × 8192)
    floor (3835.5)     		tx = 3835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31219482421875 × 213)
    floor (0.31219482421875 × 8192)
    floor (2557.5)     		ty = 2557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3835 / 2557 ti = "13/3835/2557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3835/2557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3835 ÷ 213
    3835 ÷ 8192     		x = 0.4681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2557 ÷ 213
    2557 ÷ 8192     		y = 0.3121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20018449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3121337890625 × 2 - 1) × π
    0.375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18039821624426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20018449} λ = -0.20018449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18039821624426))-π/2
    2×atan(3.25567040562954)-π/2
    2×1.27278702823085-π/2
    2.5455740564617-1.57079632675     		φ = 0.97477773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20018449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97477773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.850650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3835 KachelY 2557 -0.20018449 0.97477773 -11.469726 55.850650
    Oben rechts KachelX + 1 3836 KachelY 2557 -0.19941750 0.97477773 -11.425781 55.850650
    Unten links KachelX 3835 KachelY + 1 2558 -0.20018449 0.97434704 -11.469726 55.825973
    Unten rechts KachelX + 1 3836 KachelY + 1 2558 -0.19941750 0.97434704 -11.425781 55.825973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97477773-0.97434704) × R
    0.000430689999999956 × 6371000     		dl = 2743.92598999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97477773-0.97434704) × R
    0.000430689999999956 × 6371000     		dr = 2743.92598999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20018449--0.19941750) × cos(0.97477773) × R
    0.000766989999999995 × 0.56135201298455 × 6371000     		do = 2743.04284477698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20018449--0.19941750) × cos(0.97434704) × R
    0.000766989999999995 × 0.561708390106942 × 6371000     		du = 2744.78427919426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97477773)-sin(0.97434704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56135201298455-0.561708390106942)×R²
    abs(-0.19941750--0.20018449)×0.000356377122392337×R²
    0.000766989999999995×0.000356377122392337×6371000²
    0.000766989999999995×0.000356377122392337×40589641000000     		ar = 7529095.85343022m²