Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38349 / 30795
↖ ↑ ↗
← N 10.773952°
E 30.657348°		 ← 600.08 m → N 10.773952°
E 30.662842°		 →
↑
600.08 m
↓
↑
600.08 m
↓
N 10.768556°
E 30.657348°		 ← 600.09 m →
360 104 m²		 N 10.768556°
E 30.662842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585166931152344 y=0.469902038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585166931152344 × 216)
    floor (0.585166931152344 × 65536)
    floor (38349.5)     		tx = 38349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469902038574219 × 216)
    floor (0.469902038574219 × 65536)
    floor (30795.5)     		ty = 30795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38349 / 30795 ti = "16/38349/30795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38349/30795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38349 ÷ 216
    38349 ÷ 65536     		x = 0.585159301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30795 ÷ 216
    30795 ÷ 65536     		y = 0.469894409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585159301757812 × 2 - 1) × π
    0.170318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53507167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469894409179688 × 2 - 1) × π
    0.060211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.189159005900742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53507167} λ = 0.53507167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189159005900742))-π/2
    2×atan(1.20823305339487)-π/2
    2×0.87941863296565-π/2
    1.7588372659313-1.57079632675     		φ = 0.18804094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53507167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.657348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18804094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.773952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38349 KachelY 30795 0.53507167 0.18804094 30.657348 10.773952
    Oben rechts KachelX + 1 38350 KachelY 30795 0.53516755 0.18804094 30.662842 10.773952
    Unten links KachelX 38349 KachelY + 1 30796 0.53507167 0.18794675 30.657348 10.768556
    Unten rechts KachelX + 1 38350 KachelY + 1 30796 0.53516755 0.18794675 30.662842 10.768556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18804094-0.18794675) × R
    9.4189999999994e-05 × 6371000     		dl = 600.084489999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18804094-0.18794675) × R
    9.4189999999994e-05 × 6371000     		dr = 600.084489999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53507167-0.53516755) × cos(0.18804094) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.982372336363079 × 6371000     		do = 600.083595578746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53507167-0.53516755) × cos(0.18794675) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.982389939387454 × 6371000     		du = 600.094348412238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18804094)-sin(0.18794675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982372336363079-0.982389939387454)×R²
    abs(0.53516755-0.53507167)×1.76030243748126e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76030243748126e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76030243748126e-05×40589641000000     		ar = 360104.084980767m²