Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38345 / 29765
↖ ↑ ↗
← N 16.272687°
E 30.635376°		 ← 586.32 m → N 16.272687°
E 30.640869°		 →
↑
586.32 m
↓
↑
586.32 m
↓
N 16.267414°
E 30.635376°		 ← 586.33 m →
343 777 m²		 N 16.267414°
E 30.640869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585105895996094 y=0.454185485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585105895996094 × 216)
    floor (0.585105895996094 × 65536)
    floor (38345.5)     		tx = 38345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454185485839844 × 216)
    floor (0.454185485839844 × 65536)
    floor (29765.5)     		ty = 29765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38345 / 29765 ti = "16/38345/29765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38345/29765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38345 ÷ 216
    38345 ÷ 65536     		x = 0.585098266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29765 ÷ 216
    29765 ÷ 65536     		y = 0.454177856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585098266601562 × 2 - 1) × π
    0.170196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53468818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454177856445312 × 2 - 1) × π
    0.091644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.287909019118057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53468818} λ = 0.53468818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.287909019118057))-π/2
    2×atan(1.33363596322749)-π/2
    2×0.927404148939515-π/2
    1.85480829787903-1.57079632675     		φ = 0.28401197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53468818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.635376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28401197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.272687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38345 KachelY 29765 0.53468818 0.28401197 30.635376 16.272687
    Oben rechts KachelX + 1 38346 KachelY 29765 0.53478405 0.28401197 30.640869 16.272687
    Unten links KachelX 38345 KachelY + 1 29766 0.53468818 0.28391994 30.635376 16.267414
    Unten rechts KachelX + 1 38346 KachelY + 1 29766 0.53478405 0.28391994 30.640869 16.267414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28401197-0.28391994) × R
    9.20300000000207e-05 × 6371000     		dl = 586.323130000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28401197-0.28391994) × R
    9.20300000000207e-05 × 6371000     		dr = 586.323130000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53468818-0.53478405) × cos(0.28401197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959938976196419 × 6371000     		do = 586.318986607081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53468818-0.53478405) × cos(0.28391994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959964759778398 × 6371000     		du = 586.334734903621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28401197)-sin(0.28391994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959938976196419-0.959964759778398)×R²
    abs(0.53478405-0.53468818)×2.57835819797991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.57835819797991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.57835819797991e-05×40589641000000     		ar = 343777.000443754m²